Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，3），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，連接PQ，CQ，以PQ，CQ為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PQCD，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段OB上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示PC，AC的長(zhǎng)；
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中． ①當(dāng)點(diǎn)D落在x軸上時(shí)，求出滿足條件的t的值；
②若點(diǎn)D落在△ABO內(nèi)部（不包括邊界）時(shí)，直接寫出t的取值范圍；
（3）作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接CQ′，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻使過(guò)A，P，C三點(diǎn)的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．#D．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵OA=3，OB=4，

∴AB= = =5，

在Rt△ACP中，PA=4﹣t，

∵sin∠OAB= = ，

∴PC= （4﹣t），

∵cos∠OAB= = ，

∴AC= （4﹣t）

（2）解：①當(dāng)D在x軸上時(shí)，如圖2中，

∵QC∥OA，

∴ = ，

∴ = ，

解得t= ．

∴t= s時(shí)，點(diǎn)D在x軸上，

②如圖，

∵PQ∥AB，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ，

綜上所述，當(dāng) ＜t＜ 時(shí)，點(diǎn)D落在△ABO內(nèi)部（不包括邊界）

（3）解：如圖3中，作QN⊥BC于N，

∵Q（0，3﹣2t），Q′（0，2t﹣3），

當(dāng)QC與⊙M相切時(shí)，則QC⊥CM，

∴∠QCM=90°，∴∠QCP+∠PCM=90°，∵∠QCP+∠QCB=90°，

∴∠BCQ=∠PCM=∠CPM，

∵∠CPM+∠PAC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠APC=∠OBA，∴∠QBC=∠QCB，

∴BQ=CQ，

∵cos∠ABO= = ，

∴ = ，

解得t= ，

當(dāng)CQ′是⊙M切線時(shí)，同法可得 = ，

解得t= ，

∴t= s或 時(shí)，過(guò)A，P，C三點(diǎn)的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切

【解析】（1）利用三角函數(shù)sin∠OAB= = ，cos∠OAB= = ，列出關(guān)系式即可解決問(wèn)題．（2）①當(dāng)D在x軸上時(shí)，如圖2中，由QC∥OA，得 = ，由此即可解決問(wèn)題．②當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，如圖3中，由PQ∥AB，得 = ，求出時(shí)間t，求出①②兩種情形時(shí)的△POQ的面積即可解決問(wèn)題．（3）如圖4中，當(dāng)QC與⊙M相切時(shí)，則QC⊥CM，首先證明QB=QC，作QN∠BC于N，根據(jù)cos∠ABO= = ，列出方程即可解決問(wèn)題，當(dāng)CQ′是⊙M切線時(shí)，方法類似．