Question

【題目】如圖1，內接于分別是和所對弧的中點，弦分別交于點，連結

（1）求證：是等邊三角形．

（2）若

①如圖2，當為的直徑時，求的長．

②當將的面積分成了的兩部分時，求的長．

（3）連結交于點，若：則的值為_______． （請直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①8；②或；（3）

【解析】

（1）利用弧的關系證得，，利用三角形外角的性質證得∠CFG=60°，從而證得是等邊三角形；

（2）①連結OD，利用求得直徑AC的長，得到半徑OD=，證得∠DOC=90°，在Rt中，再利用即可求解；

②利用弧的關系=120°=，證得DE=AB=12，分DF:FG=2:1或DF:FG=1:2兩種情況討論，證得△DCF△CEG，利用對應邊成比例分別計算即可求解；

（3）作出如圖的輔助線，設，，得到，證得△AHD∽△BHC，△DBG∽△CEG，△DFA∽△CFE，分別求得BC、EF、EG、DF、FA的長，即可求解．

（1）∵∠ACB=60°，

∴優(yōu)弧 =120°，

∴，

∵D，E分別是，的中點，

∴，

∴∠ACD+∠EDC=60°=∠CFG，

∵∠ACB=60°，

∴△CFG是等邊三角形；

（2）①連結OD，

∵AC是圓O的直徑，AB=12，

∴∠B=90°，

∵∠ACB=60°，

，

∴AC=，

∴OD=，

由(1)得：△CFG為等邊三角形，

∴∠CFG=60，

∵點D是的中點，

∴∠DOC=90°，

∵∠DFO=∠CFG=60°，

，

∴DF=8；

②由（1）得：，

∵D、E分別是、的中點，

∴=120°=，

∴DE=AB=12，

ⅰ)當DF:FG=2:1時，

設FG=，DF=2，

由(1)得：△CFG為等邊三角形，

∴，GE=12-3，∠CFE=60，

∵，，

∴∠DCA=∠CED，∠CDE=∠ECB，

∴△DCF△CEG，

∴，

∴，

∴，

∴DF=，EF=12- DF=，

連結OD交AC于點M，

∵D是的中點，

∴OD⊥AC，

在Rt△DMF中，∠DFM=∠CFG=60°，

∴FM=DF=，

∴AC=2(FM+CF)= 2(+)= ；

ⅱ)當DF:FG=1:2時，

設DF=，FG=CF=CG=2，GE=12-3，

同理，∴△DCF△CEG，

∴，

∴，

∴=，

即DF=，EF=12- DF=，CF=，

同理得AC=；

（3）作CP∥FD交BD延長線于點P，連接AD，

∵點D、E分別是、的中點，

∴∠CDF=∠FDH，AD=DC，

∵CP∥FD，

∴∠FDC=∠DCP，∠CPD=∠FDH，，

∴∠DCP=∠CPD，

∴PD=CD，

∴，

∵，

∴設，，則,

∴，

∵，∠AHD=∠BHC，

∴∠DAH=∠CBH，

∴△AHD∽△BHC，

∴，即，

∴，

∴；

由(1)得：△CFG為等邊三角形，

∴，∠CFE=60，

∵，

∴∠HBC=∠CEF，

∴△HBC∽△CEF，

∴，即，

∴，

∴，，

∵∠DBG=∠CEG，∠DGB=∠CGE，

∴△DBG∽△CEG，

∴，即，

∴；

∴，

同理：∴△DFA∽△CFE，

∴，即，

∴；

∴，

∴．

故答案為：．