Question

已知，△ABC中，∠ABC為銳角，且∠ABC=2∠ACB，AD為BC邊上的高，延長(zhǎng)AB到E，使BE=BD，連接ED并延長(zhǎng)交AC于F．求證：AF=CF=DF．

Answer 1

分析：根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠1=∠E，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ABC=2∠1，從而得到∠1=∠ACB，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠1=∠2，然后求出∠2=∠ACB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CF=DF，再根據(jù)垂直的定義求出∠2+∠3=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ACB+∠4=90°，然后求出∠3=∠4，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AF=DF，從而得證．

解答：證明：如圖，∵BE=BD，
∴∠1=∠E，
∴∠ABC=∠1+∠E=2∠1，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠ACB，
∴CF=DF，
∵AD為BC邊上的高，
∴∠2+∠3=90°，∠ACB+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴AF=DF，
∴AF=CF=DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊的性質(zhì)，利用弧線加阿拉伯?dāng)?shù)字表示角更形象直觀．