已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,tan∠A=
3
4
,現(xiàn)將△ABC繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α(45°<α<135°)得到△DCE,設(shè)直線DE與直線AB相交于點(diǎn)P,連接CP.
精英家教網(wǎng)
(1)當(dāng)CD⊥AB時(如圖1),求證:PC平分∠EPA;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(如圖2),求證:PE+PB=6;
(3)在△ABC旋轉(zhuǎn)過程中,連接BE,當(dāng)△BCE的面積為
25
4
3
時,求∠BPE的度數(shù)及PB的長.
分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后三角形的面積不變作為相等關(guān)系得到CF=CN,從而判定CP平分∠EPA;
(2)作輔助線構(gòu)造全等三角形,利用全等的性質(zhì)和三角函數(shù)求解.在PA上截取PM=PE連接CM,過C作CK⊥PA得出,CM=CB=5,再利用三角函數(shù)求出BM=6,所以得到PM+PE=6;
(3)要注意有2種情況,△BEC為銳角三角形時和△BEC為鈍角三角形時兩種,不要漏掉.主要利用直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系解方程求線段的長度.
解答:解:(1)過C點(diǎn)作CN⊥DE垂足為N,精英家教網(wǎng)
∵△ABC≌△DEC,
∴AB=DE.
∵S△ABC=
1
2
AB•CF=S△DCE=
1
2
DE•CN,
∵CF=CN,
∴CP平分∠EPA.

(2)如圖2在PA上截取PM=PE連接CM,過C作CK⊥PA,
由(1)同理可證CP平分∠EPA,
∴∠EPC=∠APC.精英家教網(wǎng)
∵PM=PE,PC=PC,
∴△PMC≌△PEC,
∴CE=CM,PE=PM.
又∵CE=CB,
∴CM=CB=5,且CK⊥PA,
∴K為BM的中點(diǎn),即BK=
1
2
BM,
在△BCK中,cos∠B=
BK
BC
=
1
2
BM
5
=
BM
10
,
在△ABC中,tan∠A=
3
4
=
5
AC

AC=
20
3

AB=
52+(
20
3
)
2
=
25
3
,
cos∠B=
3
5
=
BM
10

∴BM=6.
∵BM=PM+PB,
∴PE+PB=6.

(3)如圖3,∵△BCE的面積為
25
4
3
,BC=5,
∴BE=BC=5,∠CED=∠PBC,∠ECB=60°,精英家教網(wǎng)
∴∠BPE=60°.
過B點(diǎn)BH⊥PE,設(shè)BP=x,
∵PE+BP=6,
∴PE=6-x,PH=
1
2
x,BH=
3
2
x.
52=(
3
2
x)
2
+(6-x-
1
2
x)
2
,x=3±
4
3
3

3-
4
3
3
<5

∴∠BPC=120°,
∴BP<BC,
精英家教網(wǎng)x=3-
4
3
3
,
BP=3-
4
3
3

如圖4,當(dāng)△BEC為鈍角三角形時,同理可得BE=5
3
,PE-PB=6,
∵PE=6+x,∠BPE=60°,x=-3±4
3

∵-3-4
3
<0,
∴x=4
3
-3.
BP=3-
4
3
3
4
3
-3
點(diǎn)評:本題考查旋轉(zhuǎn)相等的性質(zhì)和解直角三角形的運(yùn)用,要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,以AB邊所在的直線為軸,將△ABC旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積是(  )
A、
168
5
π
B、24π
C、
84
5
π
D、12π

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22、如圖所示,已知Rt△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD延長線于E,BA、CE延長線相交于F點(diǎn).
求證:(1)△BCF是等腰三角形;(2)BD=2CE.

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25、已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,兩直角邊AC、BC的長是關(guān)于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的兩個實(shí)數(shù)根.求m的值及AC、BC的長(BC>AC).

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10、如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°∠A=36°,以C為圓心,CB為半徑的圓交AB于P,則弧BP的度數(shù)是
72
°.

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已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點(diǎn)D在BC的延長線上,點(diǎn)E在AC上,且CD=CE,延長BE交AD于點(diǎn)F,求證:BF⊥AD.

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