Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC，AB＝6，點E是斜邊AB上的一點（端點A、B除外），將△CAE繞C逆時針旋轉90°至△CBF，連接EF，且EF的中點為O，連OB、OC，設AE＝x，

（1）求證：OB＝OC；

（2）用x表示△BEF的面積S△BEF，并求S△BEF的最大值；

（3）用x表示四邊形BECF的周長C，并求C的最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）12．

【解析】

（1）由旋轉的性質和等腰直角三角形的性質可得∠ECF＝90°，∠EBF＝90°，然后再由直角三角形的性質可得結論；

（2）由三角形面積公式可求得S△BEF與x的關系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可；

（3）易得四邊形BECF的周長C＝6+2CE，于是當CE⊥AB時，CE的值最小，亦即四邊形BECF的周長C最小，然后由等腰直角三角形的性質求解即可．

解：（1）證明：∵Rt△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵將△CAE繞C逆時針旋轉90°至△CBF，

∴∠A＝∠CBF＝45°，AE＝BF，CE＝CF，∠ECF＝90°，

∴∠EBF＝∠ABC+∠CBF＝90°，

∵EF的中點為O，∴CO＝EF，BO＝EF，

∴BO＝CO；

（2）∵AE＝BF＝x，AB＝6，∴BE＝6﹣x，

∴S△BEF＝BE×BF＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，

∴當x＝3時，S△BEF的最大值為；

（3）∵四邊形BECF的周長C＝BE+BF+CE+CF＝BE+AE+2CE＝6+2CE，

∴當CE的值最小時，四邊形BECF的周長C有最小值，

∴當CE⊥AB時，CE的值最小，此時CE＝AB＝3，

∴四邊形BECF的周長C最小值＝6+2×3＝12．