Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（M不與B、C重合）

（1）如圖1，若∠MAC＝45°，求；

（2）如圖2，將CM繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至CN，連接BN，T為BN的中點(diǎn)，連接AT．

①求證：AM＝2AT；

②當(dāng)AB＝AC＝2時(shí)，直接寫出CM+4AT的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②2

【解析】

（1）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥AC于H，證△AMH是等腰直角三角形，設(shè)AH＝a，則MH＝a，在Rt△CMH中，求出CH，CM的長，再證BM＝AC即可求出結(jié)果；

（2）①如圖2﹣1，延長BA至Q且使AQ＝AB，連接CQ，MN，AN，NQ,證△ACQ和△MCN為等邊三角形，推出AN＝QN＝AM，由三角形的中位線定理即可推出結(jié)論；

②如圖2﹣2，將△QCN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△Q'CN'，連接NN'，MN，QQ'，AQ'，設(shè)AQ'與QC交于點(diǎn)G，推出CM+4AT＝CN+AN+NQ＝NN'+AN+N'Q'，即當(dāng)A，N，N'，Q'在一條直線上時(shí)，CM+4AT有最小值，為AQ'的長度，求出AQ'的長度即可．

（1）解：如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥AC于H，

∵∠MAC＝45°，

∴△AMH是等腰直角三角形，

設(shè)AH＝a，則MH＝a，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠C＝30°，

∴在Rt△CMH中，

CH＝MH＝，CM＝2MH＝2a，

∴AC＝AH+CH＝(1+)a，

∵∠BAM＝∠BAC﹣∠CAM＝75°，∠BMA＝∠C+∠CAM＝75°，

∴∠BAM＝∠BMA，

∴BM＝AB＝AC＝(1+)a，

∴；

（2）①證明：如圖2﹣1，延長BA至Q且使AQ＝AB，連接CQ，MN，AN，NQ

則AC＝AQ，

∵∠CAQ＝180°﹣∠BAC＝60°，

∴△ACQ為等邊三角形，

∵CM＝CN，∠MCN＝60°，

∴△MCN為等邊三角形，

∵∠ACM＝30°，

∴∠ACN＝60°﹣∠ACM＝30°，∠QCN＝60°﹣∠ACN＝30°，

∴AC垂直平分MN，

∵AM＝AN，

又∵AC＝QC，∠ACN＝∠QCN，CN＝CN，

∴△ACN≌△QCN（SAS），

∴AN＝QN，

∴AM＝QN，

∵BA＝QA，BT＝NT，

∴QN＝2AT，

即AM＝2AT；

②解：如圖2﹣2，將△QCN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△Q'CN'，連接NN'，MN，QQ'，AQ'，設(shè)AQ'與QC交于點(diǎn)G，

則∠NCN'＝∠QCQ'＝60°，NQ＝N'Q'，

又∵CN＝CN'，CQ＝CQ'，

∴△CNN'與△CQQ'是等邊三角形，

由①知AN＝NQ＝AM＝2AT，

∴CM+4AT＝CN+AN+NQ＝NN'+AN+N'Q'，

即當(dāng)A，N，N'，Q'在一條直線上時(shí)，CM+4AT有最小值，為AQ'的長度，

∵△ACQ和△CQQ'是等邊三角形，

∴AC＝AQ＝CQ＝QQ'＝CQ'＝2，

∴四邊形ACQ'Q為菱形，

∴AQ'⊥CQ，

∴在Rt△AQG中，

AG＝AQ＝，

∴AQ'＝2AG＝2，

故答案為：2．