Question

【題目】如圖，一長(zhǎng)度為10的線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸的正半軸上滑動(dòng)，以A為直角頂點(diǎn)，AC為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，連接BO．
（1）求OB的最大值；
（2）在AC滑動(dòng)過(guò)程中，△OBC能否恰好為等腰三角形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AC的中點(diǎn)D，連接OD、BD．

在Rt△ABC中，∵AC=AB=10，

∴OD= AC=5，AD=DB=5，BD= =5 ，

∵OB≤OD+BD，

∴OB的最大值為5+5

（2）解：作BE⊥y軸于E．

∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAC=90°，

∴∠EBA=∠OAC，

∵AB=AC，

∴△ABE≌△CAO，

∴BE=OA，

∴AE=OC．

①∵EA＜AB＜OB，EA=OC，

∴OC＜OB，即OC≠OB．

②∵OC＜OA＜BC，即OC≠BC．

③當(dāng)OB=BC時(shí)，作BF⊥x軸于F，則OF=FC=BE，

設(shè)OA=a，則BE=a，OC=2a，

由OA2+OC2=AC2，a2+4a2=102，解得a=2 ，

∴A（0，2 ），

綜上所述，當(dāng)A（0，2 ）時(shí)，△OBC是等腰三角形．

【解析】（1）取AC的中點(diǎn)D，連接OD、BD．構(gòu)建三邊關(guān)系OB≤OD+BD，求出OD、OB即可解決問(wèn)題；（2）作BE⊥y軸于E．分三種情形分類討論①由EA＜AB＜OB，EA=OC，推出OC＜OB，即OC≠OB．②由OC＜OA＜BC，即OC≠BC．③當(dāng)OB=BC時(shí)，作BF⊥x軸于F，則OF=FC=BE，設(shè)OA=a，則BE=a，OC=2a，由OA2+OC2=AC2 ， 構(gòu)建方程即可；
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等才能正確解答此題．