Question

8．如圖，已知正方形ABCD的邊長是4cm，點E是CD的中點，連結(jié)AE，點M是AE的中點，過點M任意作直線分別與邊AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP=$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$cm．

Answer 1

分析 如圖，過點P作PH⊥BC交BC于H，先證明△PQH≌△AED推出∠AMP=90°，再利用△MAP∽△DAE，得$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，求出AP，根據(jù)對稱性求出AP′即可解決問題．

解答 解：如圖，過點P作PH⊥BC交BC于H，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠C=∠B=∠BAC=90°，
∵∠D=∠C=∠DPH=90°，
∴四邊形PDCH是矩形，
∴PH=CD，
在△PQH和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{PQ=AE}\\{PH=AD}\end{array}\right.$，
∴△PQH≌△AED，
∴∠DAE=∠QPH，
∵∠QPH+∠APM=90°，
∴∠DAE+∠APM=90°，
∴∠AMP=90°，
∵∠MAP=∠DAE，
∴△MAP∽△DAE，
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$，
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AM=ME=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴AP=$\frac{5}{2}$，PD=$\frac{3}{2}$，
根據(jù)對稱性可得AP′=PD=$\frac{3}{2}$．
故答案為$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學會利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．