Question

16．如圖，在△ABC中，AB＞AC，內切圓⊙I與邊BC切于點D，AD與⊙I的另一個交點為E，⊙I的切線EP與BC的延長線交于點P，CF∥PE且與AD交于點F，直線BF與⊙I交于點M、N，M在線段BF上，線段PM與⊙I交于另一點Q．證明：∠ENP=∠ENQ．

Answer 1

分析 注意到弦切角∠PEN=∠EQN，從而只需證明∠NEQ=∠EPN即可，而∠NEQ=∠NMP，則只需證∠NMP=∠EPN，于延長BN交PE于H，問題就轉化為證明△PHN∽△MHP，即只需證PH²=HM•HN，由切割線定理可知HE²=HM•HN，從而只需證PH=HE．由CF∥BE可得$\frac{EF}{FD}=\frac{PC}{CD}$，對直線BFH截△PDE，由梅涅勞斯定理知$\frac{PH}{HE}•\frac{EF}{FD}•\frac{DB}{BP}=1$，進而有$\frac{PH}{HE}•\frac{PC}{CD}•\frac{DB}{BP}=1$，所以只需證$\frac{PC}{PB}•\frac{BD}{CD}=1$，由梅涅勞斯定理知$\frac{AS}{SC}•\frac{CP}{PB}•\frac{BT}{TA}=1$，結合切線長定理易知$\frac{PC}{PB}•\frac{BD}{CD}=1$成立，故原命題成立．

解答 證明：如圖，設⊙I與AC、AB分別切于點S、T，連接ST、AI、IT，設ST與AI交于點G．

則IE⊥PE，ID⊥PD，故I、E、P、D四點共圓，
∴I、G、E、P、D五點共圓，
∴∠IGP=∠IEP=90°，即IG⊥PG，
∴P、S、T三點共線，
對直線PST截△ABC，由梅涅勞斯定理知$\frac{AS}{SC}•\frac{CP}{PB}•\frac{BT}{TA}=1$，
∵AS=AT，CS=CD，BT=BD，
∴$\frac{PC}{PB}•\frac{BD}{CD}=1$，
設BN的延長線與PE交于點H，對直線BFH截△PDE，由梅涅勞斯定理知$\frac{PH}{HE}•\frac{EF}{FD}•\frac{DB}{BP}=1$，
∵CF∥BE，
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{PC}{CD}$，
∴$\frac{PH}{HE}•\frac{PC}{CD}•\frac{DB}{BP}=1$，
∴PH=HE，
∴PH²=HE²=HM•HN，
∴$\frac{PH}{HM}=\frac{HN}{PH}$，
∴△PHN∽△MHP，
∴∠HPN=∠HMP=∠NEQ，
∵∠PEN=∠EQN，
∴∠ENP=∠ENQ．

點評 本題主要考查了四點共圓的判定與性質、圓的切線性質、相似三角形的判定與性質、梅涅勞斯定理的應用，難度很大．