Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA，點(diǎn)B剛好落在拋物線上．
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)D在二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象的對(duì)稱軸上，點(diǎn)E在二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象上，是否存在以B，C，D，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，把正方形OCBA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．
①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A₁落在二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象對(duì)稱軸上時(shí)，求出此時(shí)的點(diǎn)B₁的坐標(biāo)．
②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)B₁落在二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象對(duì)稱軸上時(shí)，邊OA₁與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，求出此時(shí)的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的邊長相等，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入y=ax²-2x+2，即可得出a的值．
（2）分兩種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)E在拋物線頂點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)BC∥DE，且DE=BC=2時(shí)，即可求出答案；
（3）①由點(diǎn)A₁落在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，OA₁=2，可得出∠A₁OA=60°，進(jìn)而得出∠BOB₁=60°，求出∠B₁OC=15°，利用三角函數(shù)表示點(diǎn)B₁的坐標(biāo)即可；
②設(shè)F（-1，m），由△A₁B₁F∽△HOF得出A₁F=2m，由OB₁=OB=2

2

得出B₁H=

7

，在Rt△A₁B₁F中由勾股定理A₁F²+A₁B₁²=B₁F²，列出方程（2m）²+2²=（

7

-m）²求出m的值，即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=ax²-2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，2），
∵以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA，點(diǎn)B剛好落在拋物線上．
∴B（-2，2），把B（-2，2）代入y=ax²-2x+2，得2=4a+4+2，解得a=-1
（2）①當(dāng)點(diǎn)E在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，
∵二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+2．
∴E（-1，3）
∵點(diǎn)D在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，
∴當(dāng)E（-1，3）以B，C，D，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
②當(dāng)BC∥DE，且DE=BC=2時(shí)，
∵點(diǎn)D在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，
∴D的橫坐標(biāo)為-1，
∴設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則有-1-t=2，或t-（-1）=2，解得t=-3或1．
∴E（-3，-1）或（1，-1）
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，3）或（-3，-1）或（1，-1），以B，C，D，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
（3）①如圖1，

∵點(diǎn)A₁落在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，OA₁=2
∴∠A₁OA=60°，
∴∠BOB₁=60°，
∴∠B₁OC=60°-45°=15°，
∵OB₁=OB=2

2

，
∴B₁（2

2

sin15°，2

2

cos15°），
②如圖2，

設(shè)F（-1，m）
∵△A₁B₁F∽△HOF
∴

A1F

FH

=

A1B1

HO

，
∴

A1F

m

=

2

1

，
∴A₁F=2m
OB₁=OB=2

2

B₁H=

OB12-OH2

=

7

，
在Rt△A₁B₁F中
A₁F²+A₁B₁²=B₁F²
（2m）²+2²=（

7

-m）²
m₁=

4- 7

3

，m₂=-4-

7

-4- 7

3

（舍去）
∴F（-1，

4- 7

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活掌握三角函數(shù)及相似三角形的運(yùn)用．