Question

10．如圖，一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$圖象交于A（-2，1）、B（n，-2）兩點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=mx圖象交于A（-2，1）、B（n，-2）兩點，可以根據(jù)點A先求出反比例函數(shù)的解析式，然后求出點B的坐標，從而可以求出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）根據(jù)一次函數(shù)解析式可以求得直線AB與x的交點，△AOB的面積是直線AB與x的交點的橫坐標的絕對值與點A的縱坐標的絕對值除以2與直線AB與x的交點的橫坐標的絕對值與點B的縱坐標的絕對值除以2的和，從而可以求得△AOB的面積．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$圖象交于A（-2，1）、B（n，-2）兩點，
∴1=$\frac{m}{-2}$得m=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：${y}_{2}=\frac{-2}{x}$，
將y=-2代入$y=\frac{-2}{x}$得，x=1，
∴點B的坐標為（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的解析式為：y₁=-x-1，
由上可得，反比例函數(shù)的解析式為：${y}_{2}=\frac{-2}{x}$，一次函數(shù)的解析式為：y₁=-x-1；
（2）∵A（-2，1）、B（1，-2），
∴由函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍是x＜-2或0＜x＜1；
（3）∵y₁=-x-1，
∴y₁=0時，x=-1，
∴${S}_{△AOB}=\frac{1×1}{2}+\frac{1×|-2|}{2}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
即△AOB的面積是$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想，找出所求問題需要的條件．