Question

19．如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB．
（1）求線段CD的長；
（2）如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；
（3）如果點F在邊CD上（不與點C、D重合），設(shè)AE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理計算出AH，從而得到BH和CD的長；
（2）分類討論：當(dāng)EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，則判斷G點與D點重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，則AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{15}{2}$，通過證明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可計算出此時的AE長；當(dāng)GA=GE時，則∠AGE=∠AEG，可證明AE=AD=15，
（3）作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=|x-9|，先利用勾股定理表示出DE=$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$，再證明△EAG∽△EDA，則利用相似比可表示出EG=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，則可表示出DG，然后證明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的關(guān)系．

解答 解：（1）作DH⊥AB于H，如圖1，
易得四邊形BCDH為矩形，
∴DH=BC=12，CD=BH，
在Rt△ADH中，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴BH=AB-AH=16-9=7，
∴CD=7；
（2）①EA=EG時，則∠AGE=∠GAE，
∵∠AGE=∠DAB，
∴∠GAE=∠DAB，
∴G點與D點重合，即ED=EA，
作EM⊥AD于M，如圖1，則AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{15}{2}$，
∵∠MAE=∠HAD，
∴Rt△AME∽Rt△AHD，
∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=$\frac{15}{2}$：9，解得AE=$\frac{25}{2}$；
②GA=GE時，則∠GAE=∠AEG，
∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15．
綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為$\frac{25}{2}$或15；
（3）作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=|x-9|，
在Rt△HDE中，DE=$\sqrt{D{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
∴△EAG∽△EDA，
∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$，
∴EG=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，
∴DG=DE-EG=$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，
∵DF∥AE，
∴△DGF∽△EGA，
∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$）：$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，
∴y=$\frac{225-18x}{x}$（0＜x＜$\frac{25}{2}$）．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)等等腰三角形的性質(zhì)；常把直角梯形化為一個直角三角形和一個矩形解決問題；會利用勾股定理和相似比計算線段的長；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．