Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=16．點O在邊BC上，以O為圓心，OB為半徑的弧經過點A．P是弧AB上的一個動點．

(1)求半徑OB的長；

(2)如果點P是弧AB的中點，聯(lián)結PC，求∠PCB的正切值；

(3)如果BA平分∠PBC，延長BP、CA交于點D，求線段DP的長．

Answer 1

【答案】(1)OB=9；(2)∠PCB的正切值=(3)PD=．

【解析】

(1)根據(jù)勾股定理得到AB==12，如圖1，過O作OH⊥AB于H，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論；

(2)如圖2，連接OP交AB于H，根據(jù)垂徑定理得到OP⊥AB，AH=BH=AB=6，根據(jù)勾股定理得到OH=3，過P作PM⊥OB于M，證明△OBH≌△OPM ，得到 根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論；

(3)如圖3，過A作AE⊥BD于E，連接CP，根據(jù)角平分線的性質得到AE=AC=4，根據(jù)相似三角形的性質得到AD=，根據(jù)全等三角形的性質得到BE=BC=16，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結論．

解：(1)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=16，

∴AB==12，

如圖1，過O作OH⊥AB于H，

則BH=AB=6，

∵∠BHO=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BHO∽△BCA，

∴，

∴=，

∴OB=9；

(2)如圖2，連接OP交AB于H，

∵點P是弧AB的中點，

∴OP⊥AB，AH=BH=AB=6，

在Rt△BHO中，OH===3，

過P作PM⊥OB于M，

在△OBH與△OPM中，

∴△OBH≌△△OPM (AAS)，

∴∠PCB的正切值

(3)如圖3，過A作AE⊥BD于E，連接CP，

∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，

∴AE=AC=4，

∵∠AED=∠ACB=90°，∠D=∠D，

∴△ADE∽△BDC，

∴=，

設DE=x，

∴=，

∴AD=，

在Rt△ACB與Rt△AEB中， ，

∴Rt△ACB≌Rt△AEB(HL)，

∴BE=BC=16，

∵CD2+BC2=BD2，

∴(4+)2+162=(16+x)2，

解得：x=，

∴AD=，BD=16+=，

∴CD=，

∵BC是⊙的直徑，

∴CP⊥BD，

∴CP===，

∴PD==．