Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，4），B（8，0），C（8，4）．

（1）試說明四邊形AOBC是矩形．

（2）在x軸上取一點(diǎn)D，將△DCB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△D'CB'（點(diǎn)D'與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)）．

①若OD＝3，求點(diǎn)D'的坐標(biāo)．

②連接AD'、OD'，則AD'+OD'是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫出最小值及此時(shí)點(diǎn)D'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①D'的坐標(biāo)為（4，9），②AD'+OD'的最小值是或4，點(diǎn)D'的坐標(biāo)是（4，2）．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的判定證明即可；

（2）①當(dāng)點(diǎn)D在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)解答即可；②當(dāng)點(diǎn)D在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)解答即可．

（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．

∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，

∴OA＝BC，AC＝OB，

∴四邊形AOBC是平行四邊形，

∵∠AOB＝90°，

∴AOBC是矩形；

（2）∵AOBC是矩形，

∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，

∵△D'CB'將△DCB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（點(diǎn)D'與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)），

∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，

即點(diǎn)B'在AC邊上，

∴D'B'⊥AC，

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，

∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，9）；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)：D'B'＝DB＝8+3＝11，

∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，15），

綜上所述：點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4，9）或（4，15）．

AD'+OD'的最小值是（或4），

點(diǎn)D'的坐標(biāo)是（4，2）．