【題目】在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,點D是BC上一點,連接AD,過點A作AG⊥AD,在AG上取點F,連接DF.延長DA至E,使AE=AF,連接EG,DG,且GE=DF.
(1)若AB=2,求BC的長;
(2)如圖1,當點G在AC上時,求證:BD=CG;
(3)如圖2,當點G在AC的垂直平分線上時,直接寫出的值.
【答案】(1)BC =2+2;(2)證明見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)如圖1中,過點A作AH⊥BC于H,分別在RT△ABH,RT△AHC中求出BH、HC即可.
(2)如圖1中,過點A作AP⊥AB交BC于P,連接PG,由△ABD≌△APG推出BD=PG,再利用30度角性質即可解決問題.
(3)如圖2中,作AH⊥BC于H,AC的垂直平分線交AC于P,交BC于M.則AP=PC,作DK⊥AB于K,設BK=DK=a,則AK=a,AD=2a,只要證明∠BAD=30°即可解決問題.
試題解析:(1)如圖1中,過點A作AH⊥BC于H.
∴∠AHB=∠AHC=90°,
在RT△AHB中,∵AB=2
,∠B=45°,
∴BH=ABcosB=2=2,
AH=ABsinB=2,
在RT△AHC中,∵∠C=30°,
∴AC=2AH=4,CH=ACcosC=2,
∴BC=BH+CH=2+2.
(2)證明:如圖1中,過點A作AP⊥AB交BC于P,連接PG,
∵AG⊥AD,∴∠DAF=∠EAC=90°,
在△DAF和△GAE中,
∴△DAF≌△GAE,
∴AD=AG,
∴∠BAP=90°=∠DAG,
∴∠BAD=∠PAG,
∵∠B=∠APB=45°,
∴AB=AP,
在△ABD和△APG中,
∴△ABD≌△APG,
∴BD=PG,∠B=∠APG=45°,
∴∠GPB=∠GPC=90°,
∵∠C=30°,
∴PG=GC,
∴BD=CG.
(3)如圖2中,作AH⊥BC于H,AC的垂直平分線交AC于P,交BC于M.則AP=PC,
在RT△AHC中,∵∠ACH=30°,
∴AC=2AH,
∴AH=AP,
在RT△AHD和RT△APG中,
∴△AHD≌△APG,
∴∠DAH=∠GAP,
∵GM⊥AC,PA=PC,
∴MA=MC,
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°,
∴∠DAM=∠GAM=45°,
∴∠DAH=∠GAP=15°,
∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°,
作DK⊥AB于K,設BK=DK=a,則AK=a,AD=2a,
∴
∵AG=CG=AD,
∴.
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【題目】(本題滿分12分)快、慢兩車分別從相距480千米路程的甲、乙兩地同時出發(fā),勻速行駛,先相向而行,途中慢車因故停留1小時,然后以原速繼續(xù)向甲地行駛,到達甲地后停止行駛;快車到達乙地后,立即按原路原速返回甲地(快車掉頭的時間忽略不計),快、慢兩車距乙地的路程(千米)與所用時間(小時)之間的函數圖象如圖,請結合圖象信息解答下列問題:
(1)求慢車的行駛速度和的值;
(2)求快車與慢車第一次相遇時,距離甲地的路程是多少千米?
(3)求兩車出發(fā)后幾小時相距的路程為千米?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法中
①兩點之間,直線最短;
②經過直線外一點,能作一條直線與這條直線平行;
③和已知直線垂直的直線有且只有一條;
④在平面內過一點有且只有一條直線垂直于已知直線.
正確的是__________.(只需填寫序號)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發(fā)展,對花木的需求量逐年提高.某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木,根據市場調查與預測,種植樹木的利潤與投資量成正比例關系,如圖(1)所示;種植花卉的利潤與投資量成二次函數關系,如圖(2)所示(注:利潤與投資量的單位:萬元)
(1)分別求出利潤與關于投資量的函數關系式;
(2)如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木,他至少獲得多少利潤?他能獲取的最大利潤是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(k<0)與反比例函數的圖象相交于A、B兩點,一次函數的圖象與y軸相交于點C,已知點A(4,1),B(n,2))
(1)求反比例函數和一次函數的解析式;
(2)寫出 >時, 的取值范圍;
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動,活動后,就活動的5個主題進行了抽樣調查(每位同學只選最關注的一個),根據調查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)這次調查的學生共有多少名?
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整,并在扇形統(tǒng)計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數.
(3)如果要在這5個主題中任選兩個進行調查,根據(2)中調查結果,用樹狀圖或列表法,求恰好選到學生關注最多的兩個主題的概率(將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、D、E).
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