Question

【題目】(2016四川省樂山市第26題)如圖1，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．若tan∠ABC=3，一元二次方程的兩根為－8、2．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）直線繞點(diǎn)A以AB為起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止，與線段BC交于點(diǎn)D，P是AD的中點(diǎn)．

①求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程；

②如圖2，過點(diǎn)D作DE垂直軸于點(diǎn)E，作DF⊥AC所在直線于點(diǎn)F，連結(jié)PE、PF，在運(yùn)動(dòng)過程中，∠EPF的大小是否改變？請(qǐng)說明理由；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)，求△PEF周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不變，理由見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由與軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且一元二次方程的兩根為－8、2，可得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得到OB的長(zhǎng)，又由tan∠ABC=3，得到點(diǎn)C（0，－6），將 A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)中，即可得到二次函數(shù)解析式；

（2）①如圖6.1，當(dāng)l在AB位置時(shí)，P即為AB的中點(diǎn)H，當(dāng)l運(yùn)動(dòng)到AC位置時(shí)，P即為AC的中點(diǎn)K，故P的運(yùn)動(dòng)路程為△ABC的中位線HK，在Rt△BOC中，由勾股定理得到BC的長(zhǎng)，再由三角形中位線定理可得到HK的長(zhǎng)，即P的運(yùn)動(dòng)路程；

②∠EPF的大小不會(huì)改變．由于，P為Rt△AED斜邊AD的中點(diǎn)，故PE=AD=PA，從而∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理有∠PAF=∠PFA=∠DPF，即可得到∠EPF=2∠EAF，故∠EPF的大小不會(huì)改變；

（3）設(shè)△PEF的周長(zhǎng)為C，則=PE+PF+EF=AD+EF，在等腰三角形PEF中，過P作PG⊥EF于點(diǎn)G，得到∠EPG=∠EPF=∠BAC，由于tan∠BAC=，故tan∠EPG=，得到EG=PE，EF=PE=AD，從而有=AD+EF=AD=AD，又當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)最小，由=30，得到AD=，從而得到最小值．

試題解析：（1）∵函數(shù)的圖象與軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且一元二次方程的兩根為－8、2，∴A（－8，0）、B（2，0），即OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，－6），將 A（－8，0）、B（2，0）代入中，解得：，，∴二次函數(shù)解析式為：；

（2）①如圖6.1，當(dāng)l在AB位置時(shí)，P即為AB的中點(diǎn)H，當(dāng)l運(yùn)動(dòng)到AC位置時(shí)，P即為AC的中點(diǎn)K，∴P的運(yùn)動(dòng)路程為△ABC的中位線HK，∴HK=BC，在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，∴BC=，∴HK=，即P的運(yùn)動(dòng)路程為；

②∠EPF的大小不會(huì)改變．理由如下：

∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P為斜邊AD的中點(diǎn)，∴PE=AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF大小不變，∴∠EPF的大小不會(huì)改變；

（3）設(shè)△PEF的周長(zhǎng)為C，則=PE+PF+EF，∵PE=AD，PF=AD，∴=AD+EF，在等腰三角形PEF中，過P作PG⊥EF于點(diǎn)G，∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，∵tan∠BAC=，∴tan∠EPG=，∴EG=PE，EF=PE=AD，∴=AD+EF=AD=AD，又當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)最小，∵=30，∴BC·AD=30，∴AD=，∴最小值為：AD=．