【題目】如圖所示,直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,拋物線過點(diǎn)B、C和D(3,0).
(1)求直線BD和拋物線的解析式.
(2)若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△PBD=6?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)直線BD的解析式為:y=﹣x+3。
拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3。
(2)滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)。
(3)存在,理由見解析。
【解析】
(1)由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式。
(2)首先確定△MCD為等腰直角三角形,因?yàn)?/span>△BND與△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答圖1所示,符合條件的點(diǎn)N有3個(gè)。
(3)如答圖2、答圖3所示,解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式,然后根據(jù)S△PBD=6的已知條件,列出一元二次方程求解。
解:(1)∵直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴A(﹣1,0),B(0,3)。
∵把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,∴C(1,0)。
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
∵點(diǎn)B(0,3),D(3,0)在直線BD上,
∴,解得。
∴直線BD的解析式為:y=﹣x+3。
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)(x﹣3),
∵點(diǎn)B(0,3)在拋物線上,∴3=a×(﹣1)×(﹣3),解得:a=1。
∴拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3。
(2)∵拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1)。
直線BD:y=﹣x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,令x=2,得y=1,∴M(2,1)。
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,則CF=FD=MN=1,
∴△MCD為等腰直角三角形。
∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,∴△BND為等腰直角三角形。
如答圖1所示:
(I)若BD為斜邊,則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,
∴N1(0,0)。
(II)若BD為直角邊,B為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON2=3,∴N2(﹣3,0)。
(III)若BD為直角邊,D為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON3=3,∴N3(0,﹣3)。
∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)。
(3)存在,
假設(shè)存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),
(I)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí),如答圖2所示,
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=n,DE=m﹣3,
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE
=(3+n)m﹣×3×3﹣(m﹣3)n=6,
化簡得:m+n=7 ①。
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m2﹣4m+3,代入①式整理得:m2﹣3m﹣4=0,
解得:m1=4,m2=﹣1。
∴n1=3,n2=8。
∴P1(4,3),P2(﹣1,8)。
(II)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí),如答圖3所示,
過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,
則PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n,
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=(3+m)(﹣n)+×3×3﹣(3﹣n)m=6,
化簡得:m+n=﹣1 ②。
∵P(m,n)在拋物線上,∴n=m2﹣4m+3。
代入②式整理得:m2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程無解.
∴此時(shí)點(diǎn)P不存在。
綜上所述,在拋物線上存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象交于A點(diǎn),過A點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為P點(diǎn),已知△OAP的面積為1.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如果點(diǎn)B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合),且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,在x軸上求一點(diǎn)M,使MA+MB最。
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【題目】手機(jī)下載一個(gè)APP,繳納一定數(shù)額的押金,就能以每小時(shí)0.5到1元的價(jià)格解鎖一輛自行車任意騎行…最近的網(wǎng)紅非“共享單車”莫屬.共享單車為解決市民出行的“最后一公里”難題幫了大忙,人們?cè)谙硎芸萍歼M(jìn)步、共享經(jīng)濟(jì)帶來的便利的同時(shí),隨意停放、加裝私鎖、大卸八塊等毀壞單車的行為也層出不窮.某共享單車公司一月投入部分自行車進(jìn)入市場,一月底發(fā)現(xiàn)損壞率不低于10%,二月初又投入1200輛進(jìn)入市場,使可使用的自行車達(dá)到7500輛.
(1)一月份該公司投入市場的自行車至少有多少輛?
(2)二月份的損壞率達(dá)到20%,進(jìn)入三月份,該公司新投入市場的自行車比二月份增長4a%,由于媒體的關(guān)注,毀壞共享單車的行為引起了一場國民素質(zhì)的大討論,三月份的損壞率下降a%,三月底可使用的自行車達(dá)到7752輛,求a的值.
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【題目】某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力,舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng),小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛形,如圖所示,甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng),甲運(yùn)動(dòng)的路程l(cm)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系:(t≥0),乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng),半圓的長度為21cm.
(1)甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是多少?
(2)甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí),它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?
(3)甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí),它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生的藝術(shù)特長發(fā)展情況,某校音樂組決定圍繞“在舞蹈、樂器、聲樂、戲曲、其他活動(dòng)項(xiàng)目中,你最喜歡哪一項(xiàng)活動(dòng)(每人只限一項(xiàng))”的問題,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中一共抽查了__________名學(xué)生,其中,喜歡“舞蹈”活動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)占抽查總?cè)藬?shù)的百分比為__________,喜歡“戲曲”活動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)是__________人;
(2)若在“舞蹈、樂器、聲樂、戲曲”活動(dòng)項(xiàng)目任選兩項(xiàng)設(shè)立課外興趣小組,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選中“舞蹈、聲樂”這兩項(xiàng)活動(dòng)的概率.
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)的圖象上,AC//BD//y軸,已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為,則k的值為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E,過E作EF∥AB交BC于F,連結(jié)DF.
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(2)若AC=8,BC=6,直接寫出當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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試求:(1)sinAcosA的值;(2)sinA﹣cosA的值.
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【題目】如圖,已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,延長AB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接CE.
(1)求證:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
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