Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與拋物線的另一個交點(diǎn)為，且．

（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線的函數(shù)表達(dá)式（其中用含的式子表示）

（2）點(diǎn)是直線上方的拋物線上的動點(diǎn)，若的面積的最大值為，求的值；

（3）設(shè)是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A； ；（2）；（3）或

【解析】

（1）令y=0，即，解出x的值即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)表示出D點(diǎn)的坐標(biāo)（4，5a），結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可算出直線解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出，再利用割補(bǔ)法表示出三角形ACE的面積，根據(jù)配方法求最值即可算出a的值；

（3）分別以AD為對角線或AD為邊進(jìn)行分類討論，再結(jié)合矩形的對邊平行和一個內(nèi)角是90°，利用勾股定理計(jì)算出a的值，進(jìn)而確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）令y=0，則，解得x=-1或3，

∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè) ，

∴A；

如圖1，作DF⊥x軸于F點(diǎn)，

∴DF∥OC，

∴，

∵，OA=1，

∴OF=4，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5a），將A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b，得

∴直線

（2）如圖1，作EN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)E，，可得

∴

設(shè)AE與y軸交點(diǎn)為M，則M，

∴，NE=m，

∴，

即，

∵的面積的最大值為，

即

解得

（3）由，可得對稱軸為x=1，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），

①若AD為矩形一條邊，如圖2，

則，即，可得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，代入拋物線方程，

可得Q點(diǎn)坐標(biāo)（-4，21a），∴，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)（1,26a），

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，

∴，

∴，

∵，∴，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，

②若AD為矩形的一條對角線，如圖3，則AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而可得P點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，

∴，

∴，

∵，∴，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為

綜上可得，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．