Question

已知正方形OABC中，O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的正半軸上，點B（4，4）．二次函數(shù)y=-

1

6

x²+bx+c的圖象經過點A、B．點P（t，0）是x軸上一動點，連接AP．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖①，過點P作AP的垂線與線段BC交于點G，當點P在線段OC（點P不與點C、O重合）上運動至何處時，線段GC的長有最大值，求出這個最大值；
（3）如圖②，過點O作AP的垂線與直線BC交于點D，二次函數(shù)y=-

1

6

x²+bx+c的圖象上是否存在點Q，使得以P、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質求出點A的坐標，然后把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式求出b、c，即可得解；
（2）表示出PO、PC，再根據(jù)同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG，然后求出△AOP和△PCG相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式表示出GC，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）求出∠OAP=∠COD，再利用“角邊角”證明△AOP和△OCD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OP=CD，再求出PC，從而得到點D的坐標，然后分①點Q在直線BC的右邊時，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等表示出點Q的坐標，再代入二次函數(shù)解析式計算即可求出t值，②點Q在直線BC的左邊時，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等表示出點Q的坐標，再代入二次函數(shù)解析式計算即可求出t值．

解答：解：（1）∵B（4，4），
∴AB=BC=4，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=4，
∴A（0，4），
將點A（0，4），B（4，4）代入y=-

1

6

x²+bx+c得

c=4 - 1 6 ×16+4b+c=4

，
解得

b= 2 3 c=4

．
∴二次函數(shù)解析式為y=-

1

6

x²+

2

3

x+4；

（2）∵P（t，0），
∴OP=t，PC=4-t，
∵AP⊥PG，
∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°，
∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠CPG，
又∵∠AOP=∠PCG=90°，
∴△AOP∽△PCG，
∴

AO

PC

=

OP

GC

，
即

4

t

=

4-t

GC

，
整理得，GC=-

1

4

（t-2）²+1，
∴當t=2時，GC有最大值是1，
即P（2，0）時，GC的最大值是1；

（3）存在點Q，使得以P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形．
理由如下：如圖1、2，易得∠OAP=∠COD，
在△AOP和△OCD中，

∠OAP=∠COD OA=OC ∠AOP=∠OCD=90°

，
∴△AOP≌△OCD（ASA），
∴OP=CD，
由P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形得，PC∥DQ且PC=DQ，
∵P（t，0），D（4，t），
∴PC=DQ=|t-4|，
∴點Q的坐標為（t，t）或（8-t，t），
①當Q（t，t）時，-

1

6

t²+

2

3

t+4=t，
整理得，t²+2t-24=0，
解得t₁=4（舍去），t₂=-6，
②當Q（8-t，t）時，-

1

6

（8-t）²+

2

3

（8-t）+4=t，
整理得，t²-6t+8=0，
解得t₁=2，t₂=4（舍去），
綜上所述，存在點Q（-6，-6）或（6，2），使得以P、C、Q、D為頂點的四邊形是以PC為邊的平行四邊形．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質，二次函數(shù)的最值問題，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的 對邊平行且相等的性質，（2）求出三角形相似是解題的關鍵，（3）難點在于根據(jù)平行四邊形的性質表示出點Q的坐標．