Question

)閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，則PE+PF=OA.（此結(jié)論不必證明，可直接應用）

圖1             圖2              圖3               圖4

    (1)理解與應用

如圖2，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，則 PE+PF的值為_____________．

    (2)類此與推理

如圖3，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．AB=4，AD=3，點P在AB邊上，PE

∥OB交AC于點E，PF∥OA交BD于點F，則PE+PF的值為______________．

    (3)拓展與延伸

如圖4，⊙○的半徑為4，A，B，C，D是⊙○上的四點，過點C，D的切線CH，DG相交于點M，點P在弦AB上，PE∥BC交AC于點E，PF∥AD交BD于點F，當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

   

Answer 1

 (1)…………2分

 (2)……………… 4分

 (3)當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是定值，…………5分

理由:連接OA、OB、OC、OD,如圖4．…………6分

∵DG與⊙○相切，

∴∠GDA=∠ABD.  

∵∠ADG=300，

∴∠ABD=30°

∴∠AOD=2∠ABD=60°.   

∵OA= OD,

∴△AOD是等邊三角形．………………………7分

∴AD=OA=4．

同理可得：BC=4．

∵PE∥BC,PF∥ AD，

∴△AEP∽△ACB,△BFP∽△BDA.………………8分

∴,.

∴.………………9分

∴.

∴PE+PF=1，

∴當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF=4．……………10分