Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，D是⊙O上一點，CD=CB，連AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：∠BCD=2∠ABD；
（3）求證：E是△BCD的內(nèi)心；
（4）若∠BCD=60°，求

EF

CE

的值．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
在△OCD和△OCB中，

CD=CB OC=OC OD=OB

，
∴△OCD≌△OBC（SSS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC是⊙O的切線，
∴OB⊥BC，
即∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）證明：∵CD與BC都是⊙O的切線，
∴OC⊥BD，OB⊥BC，∠OCD=∠OCB=

1

2

∠BCD，
∴∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OCB=∠ABD，
∴∠BCD=2∠ABD；

（3）證明：∵OC⊥BD，
∴

DE

=

BE

，
∴∠DBE=

1

2

∠BOE，
∵∠BOE+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠BOE，
∴∠DBE=

1

2

∠CBD，
∵∠OCD=∠OCB，且點E在OC上，
∴點E是△BCD的角平分線的交點，
即點E到△BCD的三邊的距離相等；
∴E是△BCD的內(nèi)心；

（4）∵∠BCD=60°，CD=CB，
∴△BCD是等邊三角形，
∵點E是△BCD的角平分線的交點，
∴點E是△BCD的中線的交點，
∴

EF

CE

=

1

2

．