Question

【題目】模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作AD⊥ED于D，過(guò)B作BE⊥ED于E．

（1）求證：△BEC≌△CDA；
（2）模型應(yīng)用：
①已知直線l1：y＝－ x－4與y軸交于A點(diǎn)，將直線l1繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至l2 ， 如圖2，求l2的函數(shù)解析式；
②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8，－6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC＝m，已知點(diǎn)D在第四象限，且是直線y＝－2x＋6上的一點(diǎn)，若△APD是不以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°，又∵∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD與△CBE中， ，∴△ACD≌△EBC（AAS）
（2）解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB于點(diǎn)B，交l2于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，

∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰Rt△，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直線l1：y＝－ x－4， ∴A（0，－4），B（－3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4＋3＝7，∴C（－7，－3），設(shè)l2的解析式為y＝kx＋b（k≠0），∴ ∴ .

∴l(xiāng)2的解析式：y＝－ x－4.

②當(dāng)點(diǎn)D位于直線y=2x-6上時(shí)，分三種情況：如圖2，

1）點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，過(guò)D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12-2x=8-x，x=4；∴D（4，2）；

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；

同1可知：△ADE≌△DPF，∴AE=DF，即：2x-12=8-x， x= ，∴D（ ）

2）點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)D位于矩形AOCB的外部；設(shè)點(diǎn)D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；

同（1）可得，△APB≌△BDF，∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；∴BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；聯(lián)立兩個(gè)表示BF的式子可得：2x-12=16-x，即x= ，∴D（ ）.

綜上所述，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，-2）或（ ）或（ ）.

【解析】（1）先根據(jù)△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB于點(diǎn)B，交l2于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，根據(jù)∠BAC=45°可知△ABC為等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l2的函數(shù)解析式即可；②分兩種情況考慮：如圖2所示，1））點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，過(guò)D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x，利用三角形全等得到DF=AE，即：12-2x=8-x，得x=4，易得D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；同1可知：△ADE≌△DPF，AE=DF，即：2x-12=8-x， x= ，易得D點(diǎn)的坐標(biāo)；2）點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)D位于矩形AOCB的外部如圖3所示，設(shè)點(diǎn)D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；同（1）可得，△APB≌△BDF，利用三角形全等可得AB=PF=8，PB=DF=x-8；故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x，即可確定出D點(diǎn)坐標(biāo)。

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法才能正確解答此題．