Question

四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的內(nèi)（或外）角平分線分別為AE和CF．
（1）當(dāng)AE，CF都為內(nèi)角平分線時(shí)，不難證明AE∥CF．過(guò)程如下：（如圖1）
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，
∴2（∠2+∠4）=360°-180°=180°
則∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，則∠4=∠5．∴AE∥CF．
（2）當(dāng)AE，CF時(shí)都為角平分線時(shí)（如圖2），AE與CF位置關(guān)系怎樣？給出證明．
（3）當(dāng)AE是內(nèi)角平分線，CF是外角平分線時(shí)（如圖3），請(qǐng)你探索AE與CF的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的判定,垂線

專題：探究型

分析：（2）作DP∥AE，如圖2，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°得∠BAD+∠BCD=180°，則根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠GAD+∠BCH=180°，再根據(jù)角平分線先定義得∠1=

1

2

∠GAD，∠4=

1

2

∠BCH，所以∠1+∠4=90°，由PD∥AE得到∠1=∠2，而∠2+∠3=90°，則∠1+∠3=90°，理由等量代換得∠3=∠4，所以PD∥CF，于是得到AE∥CF；
（3）如圖3，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°得∠BAD+∠BCD=180°，則∠BAD=∠BCE，再由AE，CF時(shí)都為角平分線得∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCE，則∠1=∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠5=∠B=90°，則AE⊥CF．

解答：解：（2）AE∥CF．理由如下：
作DP∥AE，如圖2，
∵四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠GAD+∠BCH=180°，
∵AE，CF時(shí)都為角平分線，
∴∠1=

1

2

∠GAD，∠4=

1

2

∠BCH，
∴∠1+∠4=90°，
∵PD∥AE，
∴∠1=∠2，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴PD∥CF，
∴AE∥CF；
（3）AE⊥CF．理由如下：
如圖3，
∵四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE，CF時(shí)都為角平分線，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCE，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠5=∠B=90°，
∴AE⊥CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．也考查了四邊形的內(nèi)角和和垂線．