【題目】如圖,△A1B1C1是邊長為1的等邊三角形,A2為等邊△A1B1C1的中心,連接A2B1并延長到點B2 , 使A2B1=B1B2 , 以A2B2為邊作等邊△A2B2C2 , A3為等邊△A2B2C2的中心,連接A3B2并延長到點B3 , 使A3B2=B2B3 , 以A3B3為邊作等邊△A3B3C3 , 依次作下去得到等邊△AnBnCn , 則等邊△A6B6C6的邊長為

【答案】
【解析】解:作A2D1⊥A1B1于D1,A3D2⊥A2B2于D2,如圖,

∵△A1B1C1是邊長為1的等邊三角形,A2為等邊△A1B1C1的中心,

∴∠A2B1D1=30°,B1D1= A1B1= ,

∴cos∠A2B1D1=cos30°= = ,

∴A2B1= ,

∵A2B1=B1B2

∴A2B2= ,

同理可得∠A3B2D2=30°,B2D2= A2B2= × = ,

∴cos∠A3B2D2=cos30°= = ,

∴A3B2= ,

∵A3B2=B2B3,

∴A3B3= =( 2

同理可得A4B4=( 3,

A5B5=( 4.A6B6C=( 5=

故答案為

作A2D1⊥A1B1于D1,A3D2⊥A2B2于D2,根據(jù)等邊三角形的中心的性質(zhì)得∠A2B1D1=30°,B1D1= A1B1= ,利用余弦的定義得cos∠A2B1D1=cos30°= = ,可計算出A2B1= ,由A2B1=B1B2得到A2B2= ,用同樣的方法可計算出A3B3=( 2,特殊的結(jié)論.

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