【題目】已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD
1)如圖1,若∠DAC=2ABC,AC=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,則∠ABC=____.45°;
2)如圖2,若∠ABC=30°,△ACD是等邊三角形,AB=3BC=4.求BD的長(zhǎng);
3)如圖3,若∠ABC=30°,∠ACD=45°,AC=2,B、D之間距離是否有最大值?如有求出最大值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】145°;(2BD=5;(3)當(dāng)B、O、D共線時(shí),BD的值最大,最大值為2+

【解析】

1)由AC=AD得∠D=ACD,由平行四邊形的性質(zhì)得∠D=ABC,在ACD中,由內(nèi)角和定理求解;
2)如圖2,在ABC外作等邊BAE,連接CE,利用旋轉(zhuǎn)法證明EAC≌△BAD,可證∠EBC=90°BE=AB=3,在RtBCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE;
3)如圖3中,在ACD的外部作等邊三角形ACO,以O為圓心OA為半徑作⊙O.首先說(shuō)明點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動(dòng),當(dāng)BO、D共線時(shí),BD的值最大,求出OD即可解決問(wèn)題;

1)解:(1)如圖1中,

ADBC,
∴∠DAC=BCA.∠DAB+ABC=180°
AC=BC,
∴∠ABC=BAC
∵∠DAC=2ABC,
2ABC+2ABC=180°
∴∠ABC=45°
故答案為:45;
2)如圖2,以AB為邊在ABC外作等邊三角形ABE,連接CE

∵△ACD是等邊三角形,
AD=AC,∠DAC=60°
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+BAC=BAE+BAC
即∠EAC=BAD
∴△EAC≌△BAD
EC=BD
∵△AEB是等邊三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°
∴∠EBC=90°
∵∠EBC=90°,EB=3BC=4,
EC=5
BD=5
3)如圖3中,在ACD的外部作等邊三角形ACO,以O為圓心OA為半徑作⊙O

∵∠ABC=AOC=30°,
∴點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動(dòng),
OEDADA的延長(zhǎng)線于E
RtAOE中,OA=AC=2,∠EAO=30°
OE=OA=1,AE=,
RtODE中,DE=AE+AD=2+,
DO==,
當(dāng)BO、D共線時(shí),BD的值最大,最大值為OB+OD=2+

練習(xí)冊(cè)系列答案
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分組

頻數(shù)

百分比

600≤x800

2

5%

800≤x1000

6

15%

1000≤x1200

45%

9

22.5%

1600≤x1800

2

合計(jì)

40

100%

1)補(bǔ)全頻數(shù)分布表.

2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.

3)請(qǐng)你估計(jì)該居民小區(qū)家庭人均收入屬于中等收入(1000≤x1600)的大約有多少戶(hù)?

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1)如圖1,若點(diǎn)D在邊AC上,猜想線段ADCE之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由;

1

2)如圖2,若點(diǎn)DAC的延長(zhǎng)線上,(1)中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

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