Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，C（0，4），A為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，將AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OB+BC的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，由旋轉(zhuǎn)可知AC=AB，易證△ACO≌△BAE，則AE=OC=4，OA=BE，作點(diǎn)O關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，則BE垂直平分OD，得到OB=BD，當(dāng)點(diǎn)C、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)OB+BC=BD+BC=CD，然后設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，0），則OA=x（），則點(diǎn)E為（x+4，0），則點(diǎn)D為（2x+8，0），得到OD=2x+8，利用勾股定理求出CD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到CD的最小值，即可解決問(wèn)題.

解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，

∴∠AEB=∠COA=90°，

∵將AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AB，

∴∠CAB=90°，AC=AB，

∴∠OCA+∠CAO=∠CAO+∠BAE=90°，

∴∠OCA=∠BAE，

∴△ACO≌△BAE，

∴CO=AE=4，OA=BE，

如圖，作點(diǎn)O關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，則BE垂直平分OD，

∴OB=DB，

∴當(dāng)點(diǎn)C、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)OB+BC=BD+BC=CD，OB+BC的最小值為CD；

設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，0），則OA=x（），

∴點(diǎn)E為（x+4，0），則點(diǎn)D為（2x+8，0），

∴OD=2x+8，

在直角三角形OCD中，由勾股定理，得：，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，CD有最小值，

CD的最小值為：，

∴OB+BC的最小值為：.