【題目】如圖,已知直線l1∥l2,直線l3和直線l1、l2交于點C和D,點P是直線CD上的一個動點。
(1)如果點P運動到C、D之間時,試探究∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關系,并說明理由。
(2)若點P在C、D兩點的外側運動時(P點與點C、D不重合),∠PAC,∠APB,∠PBD之間 的關系是否發(fā)生改變?請說明理由。
【答案】(1)P點在C、D之間運動時,則有∠APB=∠PAC+∠PBD,理由詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)當P點在C、D之間運動時,首先過點P作,由,可得,根據(jù)兩直線平行,內錯角相等,即可求得: ∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)當點P在C、D兩點的外側運動時,則有兩種情形,由直線,根據(jù)兩直線平行,內錯角相等,同位角相等與三角形外角的性質,可分別求得:∠APB=∠PAC-∠PBD和∠APB=∠PBD-∠PAC.
解:(1)若P點在C、D之間運動時,則有∠APB=∠PAC+∠PBD.理由是:
如圖,過點P作PE∥l1,則∠APE=∠PAC,
又因為l1∥l2,所以PE∥l2,
所以∠BPE=∠PBD,
所以∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,
即∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)若點P在C、D兩點的外側運動時(P點與點C、D不重合),則有兩種情形:
①如圖1,有結論:∠APB=∠PAC-∠PBD.理由是:
過點P作PE∥l1,則∠APE=∠PAC
又因為l1∥l2,所以PE∥l2
所以∠BPE=∠PBD
所以∠APB=∠APE-∠BPE
即∠APB=∠PAC-∠PBD.
②如圖2,有結論:∠APB=∠PBD-∠PAC.理由是:
過點P作PE∥l2,則∠BPE=∠PBD
又因為l1∥l2,所以PE∥l1
所以∠APE=∠PAC
所以∠APB=∠BPE-∠APE
即∠APB=∠PBD-∠PAC.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:點P是△ABC內部或邊上的點(頂點除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一個三角形與△ABC相似,則稱點P是△ABC的自相似點.
例如:如圖1,點P在△ABC的內部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,則△BCP∽△ABC,故點P是△ABC的自相似點.
請你運用所學知識,結合上述材料,解決下列問題:
在平面直角坐標系中,點M是曲線y= (x>0)上的任意一點,點N是x軸正半軸上的任意一點.
(1)如圖2,點P是OM上一點,∠ONP=∠M,試說明點P是△MON的自相似點;當點M的坐標是( ,3),點N的坐標是( ,0)時,求點P的坐標;
(2)如圖3,當點M的坐標是(3, ),點N的坐標是(2,0)時,求△MON的自相似點的坐標;
(3)是否存在點M和點N,使△MON無自相似點?若存在,請直接寫出這兩點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形,我們把以格點間連線為邊的三角形稱為“格點三角形”,圖中的△ABC就是格點三角形,建立如圖所示的平面直角坐標系,點C的坐標為(0,﹣1).
(1)在如圖的方格紙中把△ABC以點O為位似中心擴大,使放大前后的位似比為1:2,畫出△A1B2C2(△ABC與△A1B2C2在位似中心O點的兩側,A,B,C的對應點分別是A1 , B2 , C2).
(2)利用方格紙標出△A1B2C2外接圓的圓心P,P點坐標是⊙P的半徑= . (保留根號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形OABC是矩形,ADEF是正方形,點A,D在x軸的正半軸,點C在y軸的正半軸上,點F再AB上,點B,E在反比例函數(shù)y= 的圖象上,OA=2,OC=6,則正方形ADEF的邊長為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一個直徑為1m的圓形鐵皮,要從中剪出一個最大的圓心角為90°的扇形ABC.
(1)求被剪掉陰影部分的面積;
(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐,該圓錐的底面圓的半徑是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解南山荔枝的銷售情況,某部門對該市場的三種荔枝品種A,B,C在6月上半月的銷售進行調查統(tǒng)計,繪制成如下兩個統(tǒng)計圖(均不完整),請你結合圖中的信息,解答下列問題:
(1)該市場6月上半月共銷售這三種荔枝多少噸?
(2)補全圖1的統(tǒng)計圖并計算圖2中A所在扇形的圓心角的度數(shù);
(3)某商場計劃六月下半月進貨A、B、C三種荔枝共300千克,根據(jù)該市場6月上半月的銷售情況,求該商場應購進C品種荔枝多少千克比較合理?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】今年世界環(huán)境日(即6月5日),某市發(fā)布了一份空氣質量的抽樣調查報告,其中該市2~5月隨機調查的25天各空氣質量級別的天數(shù)如下表所示:
(1)試估計該市今年的空氣質量主要是哪個級別?
(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù),預測該市今年空氣質量級別為優(yōu)和良的天數(shù)共約為多少天?
(3)根據(jù)調查報告,試對有關部門提一條建設“綠色城市”的建議.
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