Question

【題目】如圖，在△ABC中，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑做圓，與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO交BO的廷長線于點D，且∠AOD=∠BAD．

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據題意過O作OE⊥AB，再結合圖形證明△BOC≌△BOE，從而證明OE=OC，便可證明AB為⊙O的切線.

（2）根據題意計算AB，AC的長度，進而計算OE的長度，在證明△ABD∽△OBC，利用相似比便可計算的AD的長.

解：（1）過點O作OE⊥AB于點E，

∵AD⊥BO于點D，

∴∠D=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，

∵∠AOD=∠BAD，

∴∠ABD=∠OAD，

又∵BC為⊙O的切線，

∴AC⊥BC，

∴∠BCO=∠D=90°，

∵∠BOC=∠AOD，

∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，

在△BOC和△BOE中，

∵

∴△BOC≌△BOE（AAS），

∴OE=OC，

∵OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，

∴∠EOA=∠ABC，

∵tan∠ABC= ，BC=6，

∴AC=BCtan∠ABC=8，

則AB=10，

由（1）知BE=BC=6，

∴AE=4，

∵tan∠EOA=tan∠ABC= ，

∴,

∴OE=3，OB=，

∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，

∴△ABD∽△OBC，

∴ ，即 ，

∴AD= ．