Question

如圖已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，請(qǐng)問(wèn)在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：

分析：存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可．

解答：解：存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

10-x

或②

9

10-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

90

13

，經(jīng)檢驗(yàn)x=

90

13

是方程①的解，且符合題意．
方程②得：x（10-x）=36，
x²-10x+36=0，
△=（-10）²-4×1×36＜0，此方程無(wú)解，
∴當(dāng)BP=

90

13

時(shí)，以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BP的值為

90

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，根的判別式的應(yīng)用，注意：ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)），當(dāng)△=b²-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，當(dāng)△=b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，當(dāng)△=b²-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解．