Question

11．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C （0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）如圖3所示，設(shè)過點A的直線與拋物線在第一象限的交點為N，當(dāng)△ACN的面積為$\frac{15}{8}$時，求直線AN的解析式．

Answer 1

分析 （1）將點的坐標(biāo)代入拋物線關(guān)系式，即可得出結(jié)論；
（2）由三角形中兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)△PAC的周長最小時，點P為BC與l的交點；
（3）△MAC為等腰三角形有三種情況，利用兩點的距離公式，即可得出結(jié)論；
（4）巧妙將△ACN分成兩部分，△ACK底為CK，高為1；△NCK底為CK，高為N點橫坐標(biāo)，合在一起底為CK，高為直線AN與拋物線交點的橫坐標(biāo)之差，設(shè)出直線解析式，表示出N的橫坐標(biāo)，結(jié)合面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C （0，3）三點，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
即拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3．
（2）連接PB，如圖1．

由拋物線的對稱性可知PA=PB，
當(dāng)B、P、C共線時，PB+PC=BC最短（三角形兩邊之和大于第三邊）．
∵拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線對稱軸l為x=1．
∵B點坐標(biāo)（3，0）、C點坐標(biāo)（0，3），
∴直線BC的關(guān)系式為y=-x+3．
∵點P為直線l與直線BC的交點，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
故當(dāng)△PAC的周長最小時，點P的坐標(biāo)為（1，2）．
（3）假設(shè)存在，設(shè)M點的坐標(biāo)為（1，m），若△MAC為等腰三角形，則有三種情況：
①當(dāng)CA=CM時，如圖2．

∵A點坐標(biāo)（-1，0）、C點坐標(biāo)（0，3），
∴CA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$，
∴$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得：m=0．
即M點的坐標(biāo)為（1，0）；
②當(dāng)MC=MA時，如圖3．

∵M(jìn)A=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，MC=$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$，
∴$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（m-3）^{2}}$，
解得：m=1．
即M點的坐標(biāo)為（1，1）；
③當(dāng)AC=AM時，如圖4．

∵AC=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\sqrt{10}$=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，
解得：m=±$\sqrt{6}$．
即M點的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）．
綜上可知：使△MAC為等腰三角形的點M的坐標(biāo)為（1，0）、（1，1）、（1，$\sqrt{6}$）和（1，-$\sqrt{6}$）．
（4）設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b，則K（0，b）．
∵直線AN過點A（-1，0），
∴0=-k+b，即k=b．
直線AN的解析式為y=kx+k．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，解得x₁=-1，或x₂=3-k．
△ACN的面積=$\frac{1}{2}$CK•（x₂-x₁）=$\frac{1}{2}$（3-k）（4-k）=$\frac{15}{8}$，
解得：k=$\frac{11}{2}$，或k=$\frac{3}{2}$．
∵N點在第一象限呢，
∴x₂=3-k＞0，即k＜3．
∴k=$\frac{11}{2}$不符合，舍去．
故直線AN的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用的求動點坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵：熟練的運用兩點間的距離公式；知道三角形中兩邊之和大于第三邊；以及能找出直線與拋物線交點的問題．本題屬于中等難度題，前兩問問題不大，（3）的運算量稍微大點，需要用心去做，（4）巧求面積很關(guān)鍵，在直角坐標(biāo)系中碰到三角形時，經(jīng)常會以過一個頂點與坐標(biāo)軸平行的三角形內(nèi)的線段為底，另兩點的橫（或縱）坐標(biāo)之差為高求面積，如想在該類問題中能快速求解需要多練習(xí)此類型問題．