Question

【題目】如圖1,一次函數(shù)y=2x+4的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于點(diǎn)C,連OC,若S△AOC=2.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）如圖3，點(diǎn)E， F分別是線段AB和線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OB運(yùn)動(dòng)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度。運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).是否存在某個(gè)時(shí)刻。使得△BEF是直角三角形？若存在，求出t的值若不存在，請(qǐng)說明理由：

（3）如圖2，過點(diǎn)B作BM⊥OB交反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象于點(diǎn)M，點(diǎn)N為反比例函數(shù) y= (x>0)的圖象上一點(diǎn)，∠ABM =∠BAN，求直線AN的解析式，

Answer 1

【答案】（1）y=（2）存在某個(gè)時(shí)刻，使得△BEF是直角三角形，此時(shí)t=20-8或8-16 （3）y=

【解析】

（1）先由一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4及x軸、y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出A（2，0），B（0，4），再根據(jù)S△AOC=2，利用三角形的面積公式求出C（1，2），然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)題意可得：OF=t，BF＝4-t，BE=t，當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí)，有兩種情況，∠BFE=90或∠BEF＝90，再根據(jù)兩角相等證明△BEF與△BOA相似，列方程即可求出t的值

（3）由A（2，0），B（0，4），C（1，2）三點(diǎn)的坐標(biāo)，可知C為AB的中點(diǎn)，如圖2，延長(zhǎng)BM交AN的延長(zhǎng)線于D，根據(jù)等角對(duì)等邊得到DB=DA，再連結(jié)DC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DC⊥BA，則∠DCB=∠BOA=90°，由平行線的性質(zhì)易得∠DBA=∠BAO，那么△DBC∽△BAO，得出DB：BC=BA：AO，求出DB=5，得到D（5，4），然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AN的解析式；

：

（1）∵一次函數(shù)y=-2x+4的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A（2，0），B（0，4）．
設(shè)C（m，n）．
∵S△AOC=2，
∴×2×n=2，
解得n=2．
又n=-2m+4，
∴m=1，
∴C（1，2），
所以反比例函數(shù)的解析式為y=；

（2）根據(jù)題意可得：OF=t，BF＝4-t，BE=t，（0）

在Rt△ABO中，∵A（2，0），B（0，4）則AB==2

當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí)，有兩種情況，

①當(dāng)∠BFE=90時(shí)，

∴∠BFE＝∠AOB ∵∠EBF＝∠ABO

∴△BEF△BAO

∴

∴

∴t=20-8

②當(dāng)∠BEF＝90時(shí)

同理可得△BEF△BOA

∴

∴

∴t=8-16

綜上所述，存在某個(gè)時(shí)刻，使得△BEF是直角三角形，此時(shí)t=20-8

或8-16

（3）∵A（2，0），B（0，4），C（1，2），
∴C為AB的中點(diǎn)，AO=2，BO=4，AB=2，
∴BC=．

如圖2，延長(zhǎng)BM交AN的延長(zhǎng)線于D，
∵∠ABM=∠BAN，
∴DB=DA，
連結(jié)DC，則DC⊥BA，
∵BM⊥OB，
∴BM∥OA，
∴∠DBA=∠BAO，
又∠DCB=∠BOA=90°，
∴△DBC∽△BAO，
∴DB：BC=BA：AO，

∴DB=5，
∴D（5，4）．
設(shè)直線AN的解析式為y=mx+b，
∵直線AN過A（2，0）、D（5，4），
∴，解得
∴直線AN的解析式為y=；