Question

已知如圖a：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于點E、F．
（1）圖中有幾個等腰三角形？且EF與BE、CF間有怎樣的關系？

圖a

（2）若AB≠AC，其他條件不變，如圖b，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？

圖b

（3）若△ABC中，∠B的平分線BO與三角形外角∠ACD的平分線CO交于點O，過點O作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F．如圖c，這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF間的關系如何？為什么？

圖c

Answer 1

解：（1）5個：△ABC，△AEF，△BEO，△OFC，△BOC；
EF=2BE= 2CF（或EF=BE+CF）．理由如下：
∵BO平分∠EBC，
∴∠EBO=∠CBO．
又∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBC=∠BOB，即BE=OE．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠EBO=∠OBC=∠EOB=∠FCO=∠OCB=∠FOC，
∴EF=2BE=2CF（或EF=BE+CF）；
（2）有，△BOE，△OCF；
EF與BE，CF間的關系是：BF=BE+CF；
（3）有，△BOE，△FCO；
BE=EF+CF．理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC．
∵BO平分∠EBC，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB．
∴BE=OE，
∴△BEO是等腰三角形，
又∵EO∥BC，
∴∠EOC=∠OCD．
∴CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠OCD，
∴∠FCO=∠FOC，
∴FC=OF，
故△CFO是等腰三角形．
而EO=BE，且EF+FO=EO，
∴BE=EF+CF．