精英家教網(wǎng)已知如圖,等腰△ABC內接于⊙O,∠B=∠ACB=30°,弦AD交BC于E,AE=2,ED=4,則⊙O的半徑為
 
分析:連接OA,OC,AO交BC于點F,根據(jù)已知和圓周角定理可證∠O=2∠D=60°,即證△OAC是等邊三角形,可證△ABE≌△ACE,得到∠AEB=∠AEC=90°,由勾股定理和相交弦定理得BE•CE=(BF+EF)(BF-EF)=BF2-EF2=AB2-AF2-EF2=AB2-AE2=AB2-4=8,即可求AB2=12,半徑等于2
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解答:精英家教網(wǎng)解:連接OA,OC,AO交BC于點F,則OA=OC,∠B=∠C,
∴AB=AC,
由圓周角定理知,∠O=2∠D=60°,
所以等腰△OAC是等邊三角形,
有AB=AC=OA,
∵∠B=∠C,
∴AE⊥BC
∵AB=AC,AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△ACE,
∴BE=CE,∠AEB=∠AEC,
∵∠AEB+∠AEC=180°,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴BF2=AB2-AF2,AF2+EF2=AE2,
由相交弦定理知,BE•CE=AE•ED=8,
而BE•CE=(BF+EF)(BF-EF)=BF2-EF2=AB2-AF2-EF2=AB2-AE2=AB2-4=8,
∴AB2=12,
∴半徑等于2
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點評:本題利用了全等三角形的判定和性質,勾股定理,圓周角定理,等邊三角形的判定和性質,相交弦定理求解.
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