精英家教網(wǎng)已知如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=
2
+1
,D是BC中點(diǎn),作半徑是
3
2
的圓經(jīng)過點(diǎn)A和D且交AB于F,交AC于E.求∠ADF的正弦值.
分析:連接EF,DE,根據(jù)題意,可得EF為⊙O的直徑,繼而推出△EDC≌△FDA,AF=CE,然后在Rt△AEF中,根據(jù)勾股定理,即可求出AF的長(zhǎng)度,由∠ADF=∠AEF,即可推出∠ADF的正弦值.
解答:精英家教網(wǎng)解:連接EF,ED(1分)
在△ABC中
∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=CD,
∴AD=
1
2
BC=CD
,∠DAF=∠DCE=45°,∠ADC=90°,(2分)
∴∠ADE+∠EDC=90°,
在⊙O中,
∵∠BAC=90°,
∴EF是⊙O的直徑,(3分)
∴∠FDE=90°,
∴∠FDA+∠ADE=90°,
∴∠EDC=∠FDA,
∴△EDC≌△FDA,
∴AF=CE,(4分)
設(shè)AF=x,則CE=x,AE=AC-CE=
2
+1
-x,
∵⊙O的半徑是
3
2
,
∴EF=
3

在Rt△AEF中,x2+(
2
+1-x)2=(
3
)2
,
解得x1=1,x2=
2
,
∠ADF=∠AEF,(5分)
∴當(dāng)x=1時(shí),sin∠ADF=sin∠AEF=
AF
EF
=
3
3
,
當(dāng)x=
2
時(shí),sin∠ADF=sin∠AEF=
AF
EF
=
6
3
,
∴∠ADF的正弦值為
3
3
6
3
.(7分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵在于求出AF=CE,解Rt△AEF,∠ADF=∠AEF.
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18、已知如圖:在△ABC中,AB=AC,D在BC上,且DE∥AC交AB于E,點(diǎn)F在AC上,且DF=DC.求證:
(1)△DCF∽△ABC;
(2)BD•DC=BE•CF

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(2012•通州區(qū)一模)已知如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,將△ABC以點(diǎn)B為中心,沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<90°),得到△BDE,點(diǎn)B、A、E恰好在同一條直線上,連接CE.
(1)則四邊形DBCE是
形(填寫:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形)
(2)若AB=AC=1,BC=
3
,請(qǐng)你求出四邊形DBCE的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB-AC=2-
2
,求BC的長(zhǎng).

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已知如圖,在△ABC中,∠C=60°,AB=2
7
,AC=4,AD是邊BC上的高,求BC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且∠ACE=∠B.求證:CD=CE.

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