【題目】如圖1,已知直線l:y=﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過O、A兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣1.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P是位于直線l下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合,連接PA、PC.設(shè)△PAC的面積為S,求當(dāng)S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),并求S的最大值;
(3)如圖2,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,連接AD、BD.點(diǎn)E是對(duì)稱軸m上一點(diǎn),F(xiàn)是拋物線上一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出當(dāng)△DEF與△ABD相似時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:當(dāng)x=﹣1時(shí),y=﹣x+2=3,則C(﹣1,3),
當(dāng)y=0時(shí),﹣x+2=0,解得x=2,則A(2,0),
∵拋物線過點(diǎn)O(0,0)、A(2,0),
設(shè)拋物線解析式為y=ax( x﹣2 ),
將點(diǎn)C(﹣1,3)代入得3=﹣a(﹣1﹣2 ),解得a=1,
∴該拋物線解析式為y=x( x﹣2 ),即y=x2﹣2x
(2)
解:設(shè)P(m,m2﹣2m),過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交直線l于點(diǎn)Q,如圖1,則Q(m,﹣m+2),
∴PQ=(﹣m+2 )﹣(m2﹣2m)=﹣m2+m+2,
∴S=S△PQC+S△PQA= (2+1)PQ=﹣ m2+ m+3=﹣ (m﹣ )2+ ,
∴當(dāng)m= 時(shí),S有最大值,最大值為 ,
把m= 代入m2﹣2m得m2﹣2m=﹣ ,
∴P( ,﹣ )
(3)
解:設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t2﹣2t),
當(dāng)x=1時(shí),y=x2﹣2x=﹣1,則D(1,﹣1),當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x+2=2,則B(0,2),
∵AB2=22+22=8,AD2=12+12=2,DB2=12+(2+1)2=10,
∴AB2+AD2=DB2,
∴△ABD為直角三角形,∠BAD=90°,
如圖2,
當(dāng)△DEF∽△BAD,則∠DEF=∠BAD=90°, = ,即DE:2 =EF: ,
∴DE=2EF,
∵EF⊥DE,
∴E(1,t2﹣2t),
∴t2﹣2t+1=2(t﹣1),解得t1=1(舍去),t2=3,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3);
當(dāng)△DEF∽△DAB,則∠DEF=∠BAD=90°, = ,即DE: =EF:2 ,
∴DE= EF,
∵EF⊥DE,
∴E(1,t2﹣2t),
∴t2﹣2t+1= (t﹣1),解得t1=1(舍去),t2= ,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣ );
如圖3,
當(dāng)△DFE∽△BAD,則∠DFE=∠BAD=90°,∠FDE=∠ADB,
過F點(diǎn)作FG⊥DE于G,則△DGF∽△BAD,同樣方法可得G(1,3),則F(3,3),
∵GF2=GEGD,即22=GE4,
∴GE=1,
∴此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4);
當(dāng)△DFE∽△DAB,則∠DFE=∠BAD=90°,用同樣方法可得E點(diǎn)坐標(biāo)為(1, ),
綜上所述,E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),(1,4),(1, ),(1,﹣ ).
【解析】(1)先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出C(﹣1,3),A(2,0),再設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=ax( x﹣2 ),然后把點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到該拋物線解析式為y=x2﹣2x;(2)設(shè)P(m,m2﹣2m),過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交直線l于點(diǎn)Q,如圖1,則Q(m,﹣m+2),則PQ=﹣m2+m+2,根據(jù)三角形面積公式,利用S=S△PQC+S△PQA可得到S=﹣ m2+ m+3,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題(3)設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t2﹣2t),先確定D(1,﹣1),B(0,2),再利用勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形,∠BAD=90°,然后分類討論:如圖2,當(dāng)△DEF∽△BAD,則∠DEF=∠BAD=90°,利用相似比得DE=2EF,由于EF⊥DE,則E(1,t2﹣2t),所以t2﹣2t+1=2(t﹣1),解得t1=1(舍去),t2=3,易得此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3);當(dāng)△DEF∽△DAB,則∠DEF=∠BAD=90°, = ,利用相似比得DE= EF,
由EF⊥DE得到E(1,t2﹣2t),則t2﹣2t+1= (t﹣1),解得t1=1(舍去),t2= ,易得此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣ );如圖3,當(dāng)△DFE∽△BAD,則∠DFE=∠BAD=90°,∠FDE=∠ADB,過F點(diǎn)作FG⊥DE于G,則△DGF∽△BAD,用前面方法可得G(1,3),則F(3,3),利用GF2=GEGD可計(jì)算出GE=1,則此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4);當(dāng)△DFE∽△DAB,則∠DFE=∠BAD=90°,用同樣方法可得E點(diǎn)坐標(biāo)為(1, ).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握一般地,一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì):(1)當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小;二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程(1﹣2k)x2﹣2x﹣1=0
(1)若此方程為一元一次方程,求k的值.
(2)若此方程為一元二次方程,且有實(shí)數(shù)根,試求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一平面內(nèi),△ABC和△ABD如圖①放置,其中AB=BD.
小明做了如下操作:
將△ABC繞著邊AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△CEA,將△ABD繞著邊AD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△DFA,如圖②,請(qǐng)完成下列問題:
(1)試猜想四邊形ABDF是什么特殊四邊形,并說明理由;
(2)連接EF,CD,如圖③,求證:四邊形CDEF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,2).
(1)求此正比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)畫出這個(gè)函數(shù)圖象;
(3)點(diǎn)(2,-5)是否在此函數(shù)圖象上?
(4)若這個(gè)圖象還經(jīng)過點(diǎn)A(a,8),求點(diǎn)A的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤A被分成三個(gè)面積相等的扇形,轉(zhuǎn)盤B被分成兩個(gè)面積相等的扇形.
(1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A一次,所得到的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為
(2)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求所得到的數(shù)字均是負(fù)數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:
①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c<0;④16a+4b+c>0.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有四張背面相同的紙牌A,B,C,D,其正面分別畫有四個(gè)不同的幾何圖形,將這四張紙牌背面朝上洗勻后放在桌面上.
(1)小紅從中隨機(jī)摸出一張,求摸出的牌面圖形是中心對(duì)稱圖形的概率;
(2)小明從這四張紙牌中隨機(jī)摸出兩張,用樹狀圖或表格法,求摸出的兩張牌面圖形都是中心對(duì)稱圖形的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC<AB<2BC.在AB邊上取一點(diǎn)M,使AM=BC,過點(diǎn)A作AE⊥AB且AE=BM,連接EC,再過點(diǎn)A作AN∥EC,交直線CM、CB于點(diǎn)F、N.
(1)證明:∠AFM=45°;
(2)若將題中的條件“BC<AB<2BC”改為“AB>2BC”,其他條件不變,請(qǐng)你在圖2的位置上畫出圖形,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請(qǐng)說明理由;如果不成立,請(qǐng)猜想∠AFM的度數(shù),并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了應(yīng)對(duì)金融危機(jī),節(jié)儉開支,我區(qū)某康莊工程指揮部,要對(duì)某路段建設(shè)工程進(jìn)行招標(biāo),從甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書中得知:每天需支付甲隊(duì)的工程款1.5萬元,乙隊(duì)的工程款1.1萬元.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)實(shí)際施工方案如下:
(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好能夠如期完成;
(2)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定的時(shí)間多用10天;
(3)若甲、乙兩隊(duì)合作8天,余下的由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成.
試問:在不耽誤工期的前提下,你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?請(qǐng)說明理由.
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