【題目】如圖,以ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形ABD,BCE,ACF,請解答下列問題:

1)求證:四邊形AFED是平行四邊形;

2)當(dāng)ABC滿足 時,四邊形AFED是矩形.

當(dāng)ABC滿足 時,四邊形AFED是菱形.

當(dāng)ABC滿足 時,四邊形AFED是正方形.

【答案】1)見解析; 2 BAC≠60°AB=AC;AB=AC

【解析】

1)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得BDE≌△BAC,所以DE=AC=AF,同理可證ABC≌△FEC,得出EF=AB=AD,所以四邊形ADEF為平行四邊形;
2)根據(jù)ADEF是矩形,則可得出,利用在點A處組成的周角即可算出∠BAC的度數(shù).

當(dāng)AB=AC且∠BAC≠60°時,根據(jù)菱形的判定推出即可;

在四邊形AEDF是矩形的條件下再加AB=AC,即可得出結(jié)論.

1)證明:四邊形ADEF是平行四邊形.
理由:∵△ABDBEC都是等邊三角形,
BD=ABBE=BC,∠DBA=EBC=60°
∴∠DBE=60°-EBA,∠ABC=60°-EBA,
∴∠DBE=ABC,
在△DBE和△ABC

∴△DBE≌△ABC,
DE=AC
又∵△ACF是等邊三角形,
AC=AF,∴DE=AF
同理可得:ABC≌△FEC,即EF=AB=DA
DE=AFDA=EF,
∴四邊形ADEF為平行四邊形;

2)解:當(dāng)ABC滿足∠BAC=150°時,四邊形ADEF是矩形;

理由:若四邊形ADEF為矩形,則∠DAF=90°
∵∠DAB=FAC=60°,
∴∠BAC=360°-DAB-FAC-DAF=360°-60°-60°-90°=150°,
∴當(dāng)ABC滿足∠BAC=150°時,四邊形ADEF是矩形;

∵當(dāng)∠BAC=60°時,四邊形ADEF中的A點與E點重合,此時以AD、E、F為頂點的四邊形不存在.

∴當(dāng)∠BAC≠60°AB=AC時,四邊形AFED是菱形,
理由:∵由(1)知:四邊形AFED是平行四邊形;AD=AB=EF,AC=DE=AF,
AB=AC,∴AD=AF,

∴平行四邊形AFED是菱形;

當(dāng)∠BAC=150°AB=AC,四邊形ADEF是正方形.

理由:∵∠BAC=150°時,四邊形ADEF是矩形;

AB=AC時,四邊形AFED是菱形;

∴當(dāng)∠ABC=150°,AB=AC時,四邊形ADEF是正方形.

練習(xí)冊系列答案
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