Question

【題目】(2016·大連中考)如圖，拋物線y＝x2－3x＋與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E.

(1)求直線BC的解析式；

(2)當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) (2)

解：(1)∵拋物線y＝x2－3x＋與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，∴令y＝0，可得x＝或x＝，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為；令x＝0，則y＝，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，則有解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋；

(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)DE的長(zhǎng)度為d.∵點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，則d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴當(dāng)m＝＝時(shí)，d有最大值，d最大＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).

（1）解一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，表示出D點(diǎn)的坐標(biāo)和E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解：(1)∵拋物線y＝x2－3x＋與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，∴令y＝0，可得x＝或x＝，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為；令x＝0，則y＝，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，則有解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋；

(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)DE的長(zhǎng)度為d.∵點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，則d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴當(dāng)m＝＝時(shí)，d有最大值，d最大＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為.