Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．

（1）求證：∠BDC=∠A；

（2）若CE=4，DE=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）6.

【解析】試題分析：（1）連接OD，由CD是⊙O切線(xiàn)，得到∠ODC=90°，根據(jù)AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，等量代換得到∠BDC=∠ADO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ADO=∠A，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠E=∠ADB=90°，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠DCE=∠BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，解方程即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）連接OD， ∵CD是⊙O切線(xiàn)， ∴∠ODC=90°， 即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， 即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴， ∴EC2=DEAE， ∴16=2（2+AD）， ∴AD=6．