Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y=

2

x

（x＞0）于點(diǎn)D，過D作兩坐標(biāo)軸的垂線DC、DE，垂足為C、E．
（1）求證：AD平分∠CDE；
（2）對任意的實(shí)數(shù)b（b≠0），求證：BE•OE為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題

分析：（1）先用b表示出A點(diǎn)坐標(biāo)為（-b，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），則OA=OB，得到△OAB為等腰直角三角形，得到∠OAB=45°，則∠DAC=∠OAB=45°，而DC⊥x軸，DE⊥y軸，易得∠ACD=∠CDE=90°，∠ADC=45°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中分析可知，△OAB為等腰直角三角形，由于ED∥OC，則△BED為等腰直角三角形，可知ED=BE，則BE•OE可化為ED•OE，即OC•DC，為三角形OCD的面積．

解答：解：（1）證明：對于y=x+b，令x=0，則y=b；令y=0，則x=-b，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-b，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），
∴OA=OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x軸，DE⊥y軸，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AD平分∠CDE；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，
又∵ED∥OC，
∴△BED為等腰直角三角形，
∴ED=BE，
則BE•OE可化為ED•OE，
即OC•DC，
∴BE•OE=ED•OE=OC•DC=S_△OCD=2×

1

2

=1為定值．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，巧妙利用等腰直角三角形的性質(zhì)和反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．