【題目】如圖1,已知AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C為 的中點(diǎn),點(diǎn)D在 上,連接BD、CD、BC、AD、BC與AD相交于點(diǎn)E.
(1)求證:∠C+∠CBD=∠CBA;
(2)如圖2,過點(diǎn)C作CD的垂線,分別與AD,AB,⊙O相交于點(diǎn)F、G、H,求證:AF=BD;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BF,若BF=BC,△CEF的面積等于3,求FG的長.
【答案】
(1)證明:連接AC,
在⊙O中,∵C為 的中點(diǎn),
∴ = ,
∴∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB,
∵ = , = ,
∴∠DCB=∠DAB,∠CBD=∠CAD,
∴∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA
(2)證明:連接AC.
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°=∠ACF+∠FCB,
∵CD⊥CH,
∴∠DCH=90°=∠FCB+∠DCB,
∴∠ACF=∠DCB,
∵ = ,
∴AC=BC,
在△ACF和△BCD中,
,
∴△ACF≌△BCD,
∴AF=BD
(3)解:作BM⊥CH于M,AK⊥CH于K.
∴∠ACK+∠CAK=90°,∠AKC=∠BMC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACK+∠KCB=90°,
∴∠CAK=∠KCB,∵AC=BC,
∴△ACK≌△CNM,
∴AK=CM,
∵CB=BF,BM⊥CF,
∴CM=FM=AK,
∵△ACF≌△BCD,
∴CF=CD,
∵∠FCD=90°,
∴∠CFD=∠CDF=45°=∠AFK,
∴△AFK是等腰直角三角形,
∴AK=FK=FM=CM,
在Rt△AKC中,tan∠CAK= =3,作EN⊥CH于N,
在Rt△NCE中,∵∠HCB=∠CAK,
∴tan∠NCE= =3,設(shè)CN=m,EN=3m=NF,
∴S△CEF= CFEN= ×(m+3m)×3m=3,
∴m= ,
∴CF=4m=2 ,
∴CM=FM=FK=AK= ,
∴AF=2,
∵ = ,
∴∠DCB=∠DAB=∠ACK,
過G作GQ⊥AF于Q,
在Rt△AQG中,tan∠FAB= = ,設(shè)QG=x,AQ=3x,F(xiàn)Q=x,
∴4x=2,
∴x= ,
∴FG= x=
【解析】(1)連接AC.由 = ,推出∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB,由 = , = ,推出∠DCB=∠DAB,∠CBD=∠CAD,推出∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA.(2)只要證明△ACF△BCD,即可推出AF=BD.(3)由△ACK≌△CNM,推出AK=CM,由△ACF≌△BCD,推出CF=CD,△AFK是等腰直角三角形,推出AK=FK=FM=CM,在Rt△AKC中,tan∠CAK= =3,作EN⊥CH于N,在Rt△NCE中,由∠HCB=∠CAK,推出tan∠NCE= =3,設(shè)CN=m,EN=3m=NF,由S△CEF= CFEN= ×(m+3m)×3m,推出m= ,推出CF=4m=2 ,推出CM=FM=FK=AK= ,AF=2,由 = ,推出∠DCB=∠DAB=∠ACK,過G作GQ⊥AF于Q,在Rt△AQG中,tan∠FAB= = ,設(shè)QG=x,AQ=3x,F(xiàn)Q=x,可得4x=2,得x= ,再根據(jù)FG= QG即可解決問題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)如果∠A=60°,則DE與DF有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(3)如果AB=5,BC=6,求tan∠BAC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店通過調(diào)低價(jià)格的方式促銷n個(gè)不同的玩具,調(diào)整后的單價(jià)y(元)與調(diào)整前的單價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,如表:
第1個(gè) | 第2個(gè) | 第3個(gè) | 第4個(gè) | … | 第n個(gè) | |
調(diào)整前的單價(jià)x(元) | x1 | x2=6 | x3=72 | x4 | … | xn |
調(diào)整后的單價(jià)y(元) | y1 | y2=4 | y3=59 | y4 | … | yn |
已知這n個(gè)玩具調(diào)整后的單價(jià)都大于2元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并確定x的取值范圍;
(2)某個(gè)玩具調(diào)整前單價(jià)是108元,顧客購買這個(gè)玩具省了多少錢?
(3)這n個(gè)玩具調(diào)整前、后的平均單價(jià)分別為 , ,猜想 與 的關(guān)系式,并寫出推導(dǎo)過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)!绑w育課外活動(dòng)興趣小組”,開設(shè)了以下體育課外活動(dòng)項(xiàng)目:A.足球 B.乒乓球C.羽毛球 D.籃球,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為;
(2)請你將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)在平時(shí)的乒乓球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加市里組織的乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=30°,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),連接AD,過點(diǎn)A作AG⊥AD,點(diǎn)F在線段AG上,延長DA至點(diǎn)E,使AE=AF,連接EG,CG,DF,若EG=DF,點(diǎn)G在AC的垂直平分線上,則 的值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于 MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D,則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某片果園有果樹80棵,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會(huì)減少,單棵樹的產(chǎn)量隨之降低.若該果園每棵果樹產(chǎn)果y(千克),增種果樹x(棵),它們之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在投入成本最低的情況下,增種果樹多少棵時(shí),果園可以收獲果實(shí)6750千克?
(3)當(dāng)增種果樹多少棵時(shí),果園的總產(chǎn)量w(千克)最大?最大產(chǎn)量是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CD是高,CE是中線,CE=CB,點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對稱,過點(diǎn)F作FG∥CD,交AC邊于點(diǎn)G,連接GE.AC=18,BC=12,則△CEG的周長為
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