Question

10．已知二次函數(shù)中x和y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-3	-4	-3	0	…

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積；
（3）在拋物線上，是否存在一點(diǎn)Q，使△QBC中QC=QB？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得直線BC的解析式，過(guò)P作PN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)M，然后根據(jù)S_△BPC=S_△PCM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•ON+$\frac{1}{2}$PM•NB，即可把S△BPC表示成P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（3）QC=QB，則Q就是線段BC的中垂線與二次函數(shù)的交點(diǎn)，首先求得BC的解析式，然后解方程組即可．

解答 解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x-3）把（0，-3）代入可得：-3=a（0+1）（0-3）
解得：a=1則y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3；
（2）S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPC=$\frac{1}{2}$×1×3+S_△BPC，
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是：y=x-3．
過(guò)P作PN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)M，設(shè)P（x，x²-2x-3）則M（x，x-3）
∴MP=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x
S_△BPC=S_△PCM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•ON+$\frac{1}{2}$PM•NB
=$\frac{1}{2}$PM•OB=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$（0＜x＜3）．
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△BPC的最大值為$\frac{27}{8}$，則 S_{四邊形ABPC}的最大值為：$\frac{27}{8}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{39}{8}$，
此時(shí)P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
設(shè)線段BC的中垂線的解析式是y=-x+c，則-$\frac{3}{2}$+c=-$\frac{3}{2}$，
解得c=0，
即BC的中垂線的解析式是y=-x．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$．
則Q的坐標(biāo)是：Q₁（$\frac{{1+\sqrt{13}}}{2}$，-$\frac{{1+\sqrt{13}}}{2}$）、Q₂（$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$，-$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及利用二次函數(shù)求最值問(wèn)題，求實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題常用的解題思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決．