Question

已知拋物線y=ax²-4ax+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B是拋物線上的點(diǎn)，且滿足AB∥x軸，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），求拋物線的表達(dá)式；
（3）對(duì)（2）中的拋物線，點(diǎn)D在線段AB上，若以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意得出x=-

-4a

2a

，求出對(duì)稱軸為直線x=2；知道點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)B是拋物線上的點(diǎn)AB∥x軸，即可求出拋物線的對(duì)稱軸及B點(diǎn)坐標(biāo)
（2）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），（-2，0），所以有

c=3 4a+8a+3=0

，解出a、c的值，即可求出拋物線的表達(dá)式．
（3）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，求出C的坐標(biāo)，再過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，設(shè)對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)F．
求出EOC∽△FAC，∠AOC=∠CAF，當(dāng)△AOC∽△DAC時(shí)，求出AO、CO、AC的值，最后求出AD=

3

2

，D(

3

2

，3)；當(dāng)△AOC∽△CAD時(shí)，再求出AD的值，最后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由題意得，x=-

-4a

2a

，
∴對(duì)稱軸為直線x=2；
∵點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B是拋物線上的點(diǎn)，AB∥x軸，
∴AB被直線x=2垂直平分，
∴B（4，3）．

（2）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），（-2，0），所以有

c=3 4a+8a+3=0

，
解得

a=- 1 4 c=3.

，∴拋物線的表達(dá)式為y=-

1

4

x2+x+3．

（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴C（2，4），
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，設(shè)對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)G，
連接OC，交AB與點(diǎn)F，
∵AB∥x軸，∴∠CEA=90°，∴∠CEO=∠CGA，
又∵

CE

OE

=

2

4

=

1

2

，

CG

AG

=

1

2

，∴

CE

OE

=

CG

AG

，
∴△EOC∽△GAC，
∴∠AOC=∠CAG，
當(dāng)△AOC∽△DAC時(shí)，有

AO

AD

=

CO

AC

，
∵AO=3，CO=2

5

，AC=

5

，
∴AD=

3

2

，∴D(

3

2

，3)；
當(dāng)△AOC∽△CAD時(shí)，有

AO

AC

=

CO

AD

，
∴AD=

10

3

，∴D(

10

3

，3)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

3

2

，3)或(

10

3

，3)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)和相似三角形的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法．