【題目】已知ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA6,點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí),將ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到BCE,連接DE

1)如圖1,求證:CDE是等邊三角形.

2)設(shè)ODt,

①當(dāng)6t10時(shí),BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出BDE周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

②求t為何值時(shí),DEB是直角三角形(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) ①見(jiàn)解析; t=2或14.

【解析】

1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°DC=EC,即可得到結(jié)論;

2)①當(dāng)6t10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CDAB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,于是得到結(jié)論;

②存在,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),D,B,E不能構(gòu)成三角形;當(dāng)0≤t6時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°,∠BDE60°,求得∠BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=t;當(dāng)6t10時(shí),此時(shí)不存在;當(dāng)t10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°,求得∠BDE60°,于是得到t=14

1)∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△BCE

∴∠DCE60°,DCEC,

∴△CDE是等邊三角形;

2)①存在,當(dāng)6t10時(shí),

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BEAD,

CDBEBE+DB+DEAB+DE4+DE

由(1)知,△CDE是等邊三角形,

DECD

CDBECD+4,

由垂線段最短可知,當(dāng)CDAB時(shí),△BDE的周長(zhǎng)最小,

此時(shí),CD2,

∴△BDE的最小周長(zhǎng)=CD+42+4;

②存在,∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),D,BE不能構(gòu)成三角形,

∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),不符合題意;

當(dāng)0≤t6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE60°,∠BDE60°

∴∠BED90°,

由(1)可知,△CDE是等邊三角形,

∴∠DEB60°,

∴∠CEB30°,

∵∠CEB=∠CDA,

∴∠CDA30°

∵∠CAB60°,

∴∠ACD=∠ADC30°

DACA4,

ODOADA642

t2;

當(dāng)6t10時(shí),由∠DBE120°90°

∴此時(shí)不存在;

當(dāng)t10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE60°

又由(1)知∠CDE60°,

∴∠BDE=∠CDE+BDC60°+BDC,

而∠BDC

∴∠BDE60°,

∴只能∠BDE90°,

從而∠BCD30°,

BDBC4

OD14,

t14,

綜上所述:當(dāng)t214時(shí),以D、EB為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

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(2)如圖2,作直線AD,過(guò)點(diǎn)BAD的平行線交直線1于點(diǎn)E,若點(diǎn)P是直線AD上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線AE上的一動(dòng)點(diǎn).連接DQ、QP、PE,試求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由:

(3)將二次函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,平移后的二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為3,在y軸上是否存在點(diǎn)F,使得∠MAF=45°?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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