Question

如圖，直線(xiàn)AB交y軸于A(yíng)（0，1）交x軸于B（3，0），直線(xiàn)CD交x軸于D（2，0），過(guò)點(diǎn)C（3，1），直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：先用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB與CD的解析式，進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出PB的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，連接BC，根據(jù)BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出BC⊥x軸及BC=1，再根據(jù)BD兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出B的長(zhǎng)，故可得出△CDB是等腰直角三角形，故△CBE也是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，同理得出P的長(zhǎng)，根據(jù)tan∠APD=tan∠BPE=

BE

PE

可得出結(jié)論．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=ax+b，直線(xiàn)CD的解析式為y=cx+d，
∵A（0，1），B（3，0），D（2，0），C（3，1），
∴

b=1 3a+b=0

，

2c+d=0 3c+d=1

，
解得

a=- 1 3 b=1

，

c=1 d=-2

，
∴設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=-

1

3

x+1，直線(xiàn)CD的解析式為y=x-2，
∴

y=- 1 3 x+1 y=x-2

，解得

x= 9 4 y= 1 4

，
∴P（

9

4

，

1

4

），
∵B（3，0），
∴PB²=（

9

4

-3）²+（

1

4

）²=

5

8

，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，連接BC，
∵B（3，0），D（2，0），C（3，1），
∴BC⊥x軸，BC=BD=1，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∵BE⊥CD，
∴△CBE也是等腰直角三角形，
∴BE=

2

2

BC=

2

2

，
∴PE=

PB2-BE2

=

5 8 - 1 2

=

2

4

，
∵∠APD與∠BPE是對(duì)頂角，
∴tan∠APD=tan∠BPE=

BE

PE

=

2 2

2 4

=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，難度適中．