【題目】如圖,已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,該拋物線頂點(diǎn)為D,對稱軸交x軸于點(diǎn)H.
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上,當(dāng)∠ABP=∠CDB時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)以O(shè)B為邊最第四象限內(nèi)作等邊△OBM.設(shè)點(diǎn)E為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)(OE>OH),連接ME,把線段ME繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得MF,求線段DF的長的最小值.
【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0);(2)P(2,﹣3);(3)線段DF的長的最小值存在,最小值是2+.
【解析】
試題分析:(1)令y=0,求得關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即為點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo);
(2)設(shè)P(x,x2﹣2x﹣3),根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(1,﹣4);結(jié)合坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得線段CD=,CB=3,BD=2;所以根據(jù)勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°,則易推知相似三角形△BCD∽△PNB,由該相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求x的值,易得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)正確做出等邊△OBM和線段ME所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)線段MF,如圖2.過點(diǎn)B,F(xiàn)作直線交對稱軸于點(diǎn)G.構(gòu)建全等三角形:△EOM≌△FBM,由該全等三角形的性質(zhì)和圖形中相關(guān)角間的和差關(guān)系得到:
∠OBF=120°為定值,即BF所在直線為定直線.過D點(diǎn)作DK⊥BF,K為垂足線段DF的長的最小值即為DK的長度.
解:(1)令y=0,得x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0)
(2)設(shè)P(x,x2﹣2x﹣3),
如圖1,過點(diǎn)P作PN⊥x軸,垂足為N.
連接BP,設(shè)∠NBP=∠CDB.
令x=0,得y=x2﹣2x﹣3=﹣3,
∴C(0,﹣3)
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4).
由勾股定理,得CD=,CB=3,BD=2.
∴BD2=BC2+CD2,
∴∠BCD=90°.
∵∠BCD=∠PNB=90°,∠NBP=∠CDB.
∴△BCD∽△PNB.
∴=,
=,即x2﹣5x+6=0,
解得x1=2,x2=3(不合題意,舍去).
∴當(dāng)x=2時(shí),y=﹣3
∴P(2,﹣3);
(3)正確做出等邊△OBM和線段ME所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)線段MF,如圖2.
過點(diǎn)B,F(xiàn)作直線交對稱軸于點(diǎn)G.
由題意可得:
,
∴△EOM≌△FBM,
∴∠MBF=∠MOB=60°.
∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°為定值,
∴BF所在直線為定直線.
過D點(diǎn)作DK⊥BF,K為垂足.
在Rt△BGH中,∠HBG=180°﹣120°=60°,
∴∠HGB=30°.
∵HB=3,
∴BG=4,HG=2.
∵D(1,﹣4),
∴DH=4,
∴DG=2+4.
在Rt△DGK中,∠DGK=30°.
∴DK=DG=2+.
∵當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí),這時(shí)BF=OH=1,
則GF=4+1=5.
而GK=DK=3+2>5,即點(diǎn)K在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑上,
所以線段DF的長的最小值存在,最小值是2+.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3.
(1)求A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)求∠BCD的度數(shù);
(3)求tan∠DBC的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=1,AC=.
(1)以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′,請畫出變換后的圖形;
(2)求點(diǎn)A和點(diǎn)A′之間的距離.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y1=x2+2x+m﹣5.
(1)如果該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),求m的取值范圍;
(2)如果該二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),求它的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)如果一次函數(shù)y2=px+q的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C,請根據(jù)圖象直接寫出y2<y1時(shí),x的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P以每秒一個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿對角線AC向點(diǎn)C移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿邊CB向點(diǎn)B移動(dòng).設(shè)P,Q兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤4).
(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長是 ;
(2)當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí),求t的值;
(3)以BQ為直徑的圓交PQ于點(diǎn)M,當(dāng)M為PQ的中點(diǎn)時(shí),求t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解的是( )
A、(a+1)(a-1)=a2-1
B、a2-6a+9=(a-3)2
C、x2+2x+1=x(x+2)+1
D、-18x4y3=-6x2y2·3x2y
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P以每秒一個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿對角線AC向點(diǎn)C移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿邊CB向點(diǎn)B移動(dòng).設(shè)P,Q兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤4).
(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長是 ;
(2)當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí),求t的值;
(3)以BQ為直徑的圓交PQ于點(diǎn)M,當(dāng)M為PQ的中點(diǎn)時(shí),求t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,四邊形AEFG與四邊形ABCD是正方形,其中G、A、B三點(diǎn)在同一直線上.連接DG、BE.完成下面問題:
(1)求證:BE=DG;
(2)如圖2,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一定角度時(shí),小明發(fā)現(xiàn):BE=DG且BE⊥DG,請你幫助小明證明這兩個(gè)結(jié)論;
(3)如圖3,小明還發(fā)現(xiàn):在旋轉(zhuǎn)過程中,分別連接EG、GB、BD、DE的中點(diǎn),得到的四邊形MNPQ是正方形.若AB=a,AE=b其中a>b,你能幫小明求出正方形MNPQ的面積的范圍嗎?寫出過程.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)計(jì)算:(-2ab)(3a2-2ab-b2)
(2)用乘法公式計(jì)算:102×98
(3)計(jì)算:2(m+1)2-(2m+1)(2m-1)
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com