【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P以每秒一個單位的速度從點A出發(fā),沿對角線AC向點C移動,同時動點Q以相同的速度從點C出發(fā),沿邊CB向點B移動.設P,Q兩點移動時間為t秒(0≤t≤4).
(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長是 ;
(2)當△PCQ為等腰三角形時,求t的值;
(3)以BQ為直徑的圓交PQ于點M,當M為PQ的中點時,求t的值.
【答案】(1)5﹣t;(2)當t=或t=或t=時,△PCQ為等腰三角形;(3)當M為PQ的中點時,t的值為.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)題意用t表示出AP,結(jié)合圖形計算即可;
(2)分CP=CQ、QP=QC、PQ=PC三種情況,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)計算即可;
(3)連接BP、BM,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的三線合一得到BP=BQ,根據(jù)勾股定理用t表示出BP、BQ,列出方程,解方程即可.
解:(1)∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC=5,
∵點P的速度是每秒一個單位,移動時間為t秒,
∴AP=t,
則PC=AC﹣AP=5﹣t,
故答案為:5﹣t;
(2)當CP=CQ時,t=5﹣t,
解得t=,
當QP=QC時,過點Q作QH⊥AC于H,如圖1,
則PH=HC=PC=(5﹣t),QC=t,
∵QH⊥AC,∠B=90°,
∴△CHQ∽△CBA,
∴=,即=,
解得t=,
當PQ=PC時,如圖2,
過點P作PN⊥QC于N,
則NC=NQ=QC=t,
∵△CPN∽△CAB,得
=,即=,
解得t=,
綜上所述,當t=或t=或t=時,△PCQ為等腰三角形;
(3)連接BP、BM,如圖3,則∠BMQ=90°,
∵M為PQ的中點,
∴BP=BQ,
過點P作PK⊥AB于K,
∵AP=t,
∴PK=t,AK=t,
∴BK=3﹣t,
在Rt△BPK中,PB2=PK2+BK2=(3﹣t)2+(t)2,又BQ=4﹣t,
∴(4﹣t)2=(3﹣t)2+(t)2,
解得t=.
∴以BQ為直徑的圓交PQ于點M,當M為PQ的中點時,t的值為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有下列命題:①同位角相等,兩直線平行;②全等三角形的周長相等;③直角都相等;④等邊對等角.其中逆命題是真命題的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,過點C作CE∥AD交AB于E,連接AC、DE,AC與DE交于點F.
(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;
(2)如果EF=2,∠FCD=30°,∠FDC=45°,求DC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,該拋物線頂點為D,對稱軸交x軸于點H.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)設點P在x軸下方的拋物線上,當∠ABP=∠CDB時,求出點P的坐標;
(3)以OB為邊最第四象限內(nèi)作等邊△OBM.設點E為x軸的正半軸上一動點(OE>OH),連接ME,把線段ME繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60°得MF,求線段DF的長的最小值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2010年3月份,某市市區(qū)一周空氣質(zhì)量報告中某項污染指數(shù)的數(shù)據(jù)是:31,35,31,34,30,32,31,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是( 。
A. 32,31 B. 31,32 C. 31,31 D. 32,35
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