Question

11．如圖1，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB是直徑，BD平分∠ABC，AD=$2\sqrt{5}$，sin∠ABC=$\frac{4}{5}$
（1）求⊙O的半徑；
（2）如圖2，點(diǎn)E是⊙O一點(diǎn)，連接EC交BD于點(diǎn)F．當(dāng)CD=DF時(shí)，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠GBD，從而得出△ADB≌△GDB求出AG，最后用勾股定理即可；
（2）先求出AC，BC，CD，DF，BF，根據(jù)勾股定理求出CG，F(xiàn)G，從而求出CF，最后用相交弦定理即可．

解答 解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD、BC交于G點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作GH⊥AB于H，
∵⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠GBD，
在△ADB和△GDB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠GDB}\\{BD=BD}\\{∠ABD=∠GBD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△GDB（ASA），
∴AD=DG=2$\sqrt{5}$，AB=BG，
∴AG=$4\sqrt{5}$，
設(shè)GH=4x，∵sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴BG=BA=5x，
∴BH=3x，AH=2x，
∴（2x）²+（4x）²=（4$\sqrt{5}$）²
解得：x=2
∴半徑為5；

（2）如圖2，

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△ABC中，AB=10，
∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AC=8，∴BC=6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=2$\sqrt{5}$，
∵CD=DF，
∴DF=2$\sqrt{5}$，
在Rt△CBG中，cos∠ABD=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴GF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
∴根據(jù)勾股定理，F(xiàn)C=$\sqrt{C{G}^{2}+F{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
根據(jù)相交弦定理得，DF×BF=EF×CF，
∴EF=$\frac{DF×BF}{CF}$=5$\sqrt{2}$，
∴CE=$7\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓內(nèi)接四邊形，主要考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相交弦定理，解本題的關(guān)鍵是FC，作輔助線是解本題的難點(diǎn)．