Question

【題目】已知線段AB，如果將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，則稱點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)．點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的示意圖如圖1：

（1）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)_____為線段BC關(guān)于點(diǎn)B的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)；

（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），且x＞0，點(diǎn)E是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段EO關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)，點(diǎn)G是線段EP關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)，過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G，F的直線與x軸交于點(diǎn)H．

①補(bǔ)全圖；

②判斷過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G，F的直線與x軸的位置關(guān)系并證明；

③若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，5），連接PF、PG，設(shè)△PFG的面積為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A；（2）①補(bǔ)圖見解析；②GF⊥x軸；證明見解析；③y=．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的定義判斷即可．

（2）①按題干定義補(bǔ)圖即可．

②結(jié)論：GF⊥x軸．證明△GEF≌△PEO（SAS），推出∠GFE＝∠EOP＝90°可得結(jié)論．

③分兩種情形：如圖4﹣1中，當(dāng)0＜x＜5時(shí)，如圖4﹣2中，當(dāng)x＞5時(shí)，分別利用三角形的面積公式求解即可．

解：（1）由題意，點(diǎn)A是線段AB關(guān)于點(diǎn)B的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)，

故答案為A．

（2）①圖形如圖3所示．

②結(jié)論：GF⊥x軸．

理由：∵點(diǎn)F是線段EF關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)，點(diǎn)G是線段EP關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)，

∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，

∴∠GEF＝∠PEO，

∴△GEF≌△PEO（SAS），

∴∠GFE＝∠EOP，

∵OE⊥OP，

∴∠POE＝90°，

∴∠GFE＝90°，

∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，

∴四邊形EFHO是矩形，

∴∠FHO＝90°，

∴FG⊥x軸．

③如圖4﹣1中，當(dāng)0＜x＜5時(shí)，

∵E（0，5），

∴OE＝5，

∵四邊形EFHO是矩形，EF＝EO，

∴四邊形EFHO是正方形，

∴OH＝OE＝5，

∴y＝FGPH＝x（5﹣x）＝﹣x2+x．

如圖4﹣2中，當(dāng)x＞5時(shí)，

y＝FGPH＝x（x﹣5）＝x2﹣x．

綜上所述，y=．