Question

3．如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)．
（1）用直尺和圓規(guī)作⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、B、E（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，求（1）中所作⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接AE，分別作出AE，AB的垂直平分線，進(jìn)而得到交點(diǎn)，即為圓心，求出答案；
（2）根據(jù)題意首先得出四邊形AFE′D是矩形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）如圖1所示：
⊙O即為所求．

（2）如圖2，在（1）中設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E′．
則AF=$\frac{1}{2}$AB=1，∠AFE′=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠FAD=∠D=90°，
∴四邊形AFE′D是矩形，
∴E′F=AD=2，DE′=AF=1，
∴點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，
連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r，
可得OA=OE=r，
∴OF=EF-OE=2-r，
∴在Rt△AOF中，AO²=AF²+OF²，
∴r²=1²+（2-r）²，
∴解得：r=$\frac{5}{4}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了復(fù)雜作圖以及勾股定理和矩形的判定與性質(zhì)等知識，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．