Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始，沿射線AB方向平移，在平移過(guò)程中，以線段AE為斜邊向上作等腰三角形AEF，當(dāng)EF過(guò)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E平移的距離為x（cm），△AEF與矩形ABCD重疊部分的面積為y（cm²）．
（1）當(dāng)點(diǎn)F落在CD上時(shí)，x=4cm；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)EF的中點(diǎn)為Q，直接寫(xiě)出在整個(gè)平移過(guò)程中點(diǎn)Q移動(dòng)的距離．

Answer 1

分析 （1）直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AF，AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案；
（2）分段討論，①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，③當(dāng)6＜x≤8時(shí)，進(jìn)而求出答案；
（3）根據(jù)題意得出Q點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，即AQ的長(zhǎng)就是中點(diǎn)Q移動(dòng)的距離，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）如圖1，

∵點(diǎn)F落在CD上，△AEF是等腰直角三角形，
∴可得AD=DF=2cm，則AF=AE=2$\sqrt{2}$cm
∴x=AE=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4（cm），
故答案為：4cm；

（2）①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，如圖2所示，

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于H，
則FH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$x，
∴y=S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•FH=$\frac{1}{2}$x$•\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²，
②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，如圖3所示，

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于H，F(xiàn)H交CD于點(diǎn)G，AF，EF分別交CD于M，N，
由題意可得：△MNF是等腰直角三角形，
∴FG=FH-GH=$\frac{1}{2}$x-2，
∴MN=2FG=2（$\frac{1}{2}$x-2）=x-4，
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$MN•FG=$\frac{1}{2}$（x-4）（$\frac{1}{2}$x-2）=（$\frac{1}{2}$x-2）2，
∴y=S_△AEF-S_△MNF=$\frac{1}{4}{x}^{2}-（\frac{1}{2}x-2）^{2}$=2x-4．
③當(dāng)6＜x≤8時(shí)，如圖4所示，

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于H，F(xiàn)H交CD于點(diǎn)G，AF、EF分別交CD于M、N，EF交BC于點(diǎn)P，
由題意可得：△MNF，△EPB都是等腰直角三角形，
S_MNF=（$\frac{1}{2}$x-2）2，
S_△EPB=$\frac{1}{2}$EB•BP=$\frac{1}{2}$（x-6）²，
∴y=S_△AEF-S_△MNF-S_△EPB=-$\frac{1}{2}$x²+8x-22，
綜上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{2x-4（4＜x≤6）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+8x-22（6＜x≤8）}\end{array}\right.$；

（3）如圖5，∵EF的中點(diǎn)為Q，
∴當(dāng)E點(diǎn)停止時(shí)，可得△ADM，△FMC，△CBE為等腰直角三角形，
則AD=DM=2cm，BC=BE=2cm，故MC=4cm，AE=8cm，
∴$\frac{MC}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴此時(shí)C，Q點(diǎn)重合，
∴AQ=2$\sqrt{10}$cm，
即在整個(gè)平移過(guò)程中點(diǎn)Q移動(dòng)的距離為2$\sqrt{10}$cm．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確分段討論得出y與x的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．